Le coordinate cartesiane
Per individuare un punto su una retta va fissato innanzitutto il verso di percorrenza. Il verso normalmente, se la retta è orizzontale, va da sinistra verso destra, se è verticale va dal basso verso l'alto. Va fissata inoltre un'origine e va precisata l'unità di misura. Va creata quindi una corrispondenza biunivoca tra punti della retta e numeri reali in modo che ad ogni punto della retta sia associata la sua distanza dall'origine. L'origine deve corrispondere con lo zero e i punti associati ai numeri positivi, sono quelli che seguono l'origine, quelli associati ai numeri negativi precedono l'origine.
La distanza sulla retta
La distanza tra due punti A e B su una retta, che indicheremo con d(A,B), corrisponde alla lunghezza del segmento AB. La distanza tra due punti A, B deve corrispondere quindi, ad un numero reale positivo. Conoscendo le coordinate dei due punti A e B, per individuare la misura del segmento AB va fatta la sottrazione tra il valore maggiore e quello minore tra le due coordinate. Per esempio per determinare la distanza tra A(-3) e B(2) si esegue la sottrazione 2-(-3)=5 quindi d(A,B)=5. Più in generale, per scrivere una formula che rimanga comunque valida senza dover distinguere quale tra i due valori è il maggiore si introduce nella formula della distanza il valore assoluto ovvero d(A,B)=|xA-xB|
Il punto medio di un segmento
Dati due punti A, B su una retta indichiamo con M il punto medio del segmento AB. Il punto M è quindi quel punto tale che d(A,M)=d(B,M). Indicate con xA e xB le coordinate di A e B vogliamo determinare la coordinata di M. La distanza d(A,B) è data dalla differenza tra la coordinata maggiore B e quella minore A ovvero xB-xA. La distanza d(A,M) sarà data quindi dalla (xB-xA)/2. Per determinare quindi la coordinata di M si dovrà sommare alla coordinata di A, che è il valore minore la d(A,M), oppure si dovrà sottrarre alla coordinata di B, che è il valore maggiore la d(A,M) ovvero:
Le coordinate sul piano
Come detto, i punti della retta sono in corrispondenza biunivoca con un numero reale, nel caso del piano ogni punto può essere messo in corrispondenza biunivoca ad una coppia ordinata di numeri reali. Per individuare un punto nel piano si fa uso di un sistema di riferimento composto da due rette perpendicolari, una orizzontale ed una verticale. L'origine del sistema di riferimento corrisponde all'intersezione delle due rette che si chiamano rispettivamente, l'asse delle orizzontali: asse delle ascisse o asse delle "x" e l'asse delle verticali: asse delle ordinate o asse delle "y". Fissata l'unità di misura, in generale la stessa per entrambi gli assi, per esempio il punto A può essere messo in corrispondenza biunivoca con la coppia ordinata (5;8), infatti il punto A si trova all'incrocio della verticale condotta dal punto 5, con l'orizzontale condotta dal punto 8. I valori 5 e 8 sono chiamati rispettivamente ascissa ed ordinata del punto A. Tale sistema di riferimento è detto riferimento cartesiano ortogonale.
La distanza sul piano
La distanza nel piano è una applicazione che associa ad ogni coppia di punti del piano un valore reale che per ogni terna A,B,C di punti soddisfa alle seguenti proprietà:
la 3. viene detta proprietà simmetrica, la 4. disuguaglianza triangolare.
Lunghezza e punto medio del segmento nel piano
Si vuol determinare la lunghezza del segmento AB ovvero la distanza tra due punti A e B rispettivamente di coordinate A(xA;yA) B(xB;yB). Si applichi il teorema di pitagora al triangolo ABC
Siccome d(A,C)=|yA-yB| e d(B,C)=|xA-xB| si sostituisce ottenendo:
Si noti ancora che scrivere (xA-xB)2 o (xB-xA)2 è la stessa cosa.
