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Analisi matematica

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Calcolo differenziale

Sia f una funzione definita in un certo intervallo [a,b]. Sia x un punto interno ad [a,b]. Sia h un numero, tale che x+h sia ancora interno ad [a,b].

Si chiama rapporto incrementale della funzione f, nel punto x il numero:


Il simbolo R(x,h) stà a significare proprio che il rapporto incrementale oltre a dipendere dalla funzione f dipende sia dal punto di "partenza" x, che dal tipo di "incremento" h. In pratica il rapporto incrementale risulta essere il rapporto tra l'incremento delle "y" Δy=f(x+h)-f(x) e l'incremento delle "x" Δx=h.


Considerati nel piano i punti A(x,f(x)) e B(x+h,f(x+h)), il rapporto incrementale corrisponde al coefficiente angolare della retta secante la funzione f(x) passante per A e B.

Defnizione: data una funzione y=f(x), definita nell'intervallo [a,b], ed un punto x la funzione f si dice derivabile nel punto x se esiste finito il limite del rapporto incrementale per h tendente a zero, in simboli:


dove h è un numero reale che rappresenta l'incremento della variabile indipendente x.

Il numero reale f'(x) è chiamato derivata della funzione f nel punto di ascissa x.

Una funzione quindi per essere derivabile in un certo punto x, deve avere la derivata destra:

deve avere la derivata sinistra:

le due derivate devono essere finite e devono essere uguali.

Significato geometrico

Il valore della derivata f'(x) in un dato punto P, è uguale al coefficiente angolare m della tangente alla curva di equazione y=f(x), nel punto P.


Infatti, come si può notare dalla figura, si sono disegnate due secanti ottenute per due valori di h. Attribuendo ad h valori tendenti a zero i punti nei quali la secante interseca la funzione si "avvicinano".

Quando h diventa uguale a zero la secante corrisponde proprio alla retta tangente la funzione f(x).

Il coefficiente angolare della secante, ovvero il rapporto incrementale della secante, diventa quindi il coefficiente angolare della tangente che corrisponde alla derivata della funzione f(x) nel punto di tangenza.

La tangente ad una curva

Sappiamo che la retta di coefficiente angolare m, passante per il punto T(x0;y0) ha equazione:

y-y0=m(x-x0)

sapendo che la derivata di una funzione calcolata in un punto x0 corrisponde al coefficiente angolare della tangente alla curva nel punto (x0;f(x0)), l'equazione della tangente ad una curva y=f(x) nel punto T(x0;f(x0) )è:

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)

Definizione: f si dice derivabile nell'intervallo [a,b] se è derivabile in ogni punto di questo intervallo, in a è sufficiente che ci sia la derivata sinistra, in b la derivata destra. La funzione f' che ad ogni punto x associa f'(x) è detta funzione derivata.

Continuità e derivabilità

Teorema: se una funzione e' derivabile in un punto x0 allora e' continua in tale punto

Ipotesi: sia f funzione derivabile in un punto x0

Tesi: la funzione f è continua nel punto x0

Dimostrazione: per ipotesi limxx0 f(x) = f'(x0) , ovvero esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale della f per x che tende ad x0.

Partiamo dall'identità:

applicando il limite per h tendente a 0 ad entrambi i membri dell'identità otteniamo:

ovvero:

cioè il limite è uguale al valore che la funzione assume nello stesso punto per cui è funzione continua nel punto x0.

Una funzione continua è derivabile? E' vero cioè il teorema inverso? Proviamo a dare la risposta al problema analizzando la funzione y=׀x׀.


La funzione nel punto x=0 è continua, infatti la definizione di funzione localmente continua in x=0 è rispettata, anzi la funzione è continua su tutto R. Vediamo cosa accade ai limiti destro e sinistro del rapporto incrementale:

La derivata destra e sinistra esistono, ma non sono uquali. La funzione risulta dunque non derivabile nel punto x=0. Ciò è confermato anche dall'interpretazione geometrica del grafico della curva, infatti a sinistra del punto x=0 la funzione ha per tangente la retta y=-x e a destra dello zero ha per tangente la retta y=x. Abbiamo trovato così un esempio in cui la condizione di continuità in un punto non è sufficiente affinché la funzione in quel punto sia derivabile e ciò basta per affermare che in generale la condizione di continuità è necessaria , ma non sufficiente perchè la funzione sia derivabile.

Applicazioni della derivata


Funzioni crescenti e decrescenti

Sia f(x) una funzione avente per dominio l'intervallo I (che può essere anche illimitato).

Una funzione f(x) è crescente in I se ∀ x1, x2 ∈ I: x1< x2, → f(x1) < f(x2).

Una funzione f(x) è non decrescente in I se ∀ x1, x2 ∈ I: x1< x2, → f(x1) ≤ f(x2).

Una funzione f(x) è decrescente in I se ∀ x1, x2 ∈ I: x1< x2, → f(x1) > f(x2).

Una funzione f(x) è non crescente in I se ∀ x1, x2 ∈ I: x1< x2, → f(x1) ≥ f(x2).


Concavità, convessità, flessi

Una curva è concava in un punto x0 ovvero ha la concavità rivolta verso il basso se esiste un intorno di x0 in cui i punti del grafico stanno al di sotto della tangente in x0 (escluso x0). Una curva ha la concavità rivolta verso l'alto in un punto x0 ovvero é convessa se esiste un intorno di x0 in cui i punti del grafico stanno al di sopra della tangente in x0 (escluso x0). Se la tangente invece attraversa la funzione nel punto x0 si dice che la curva ha un punto di flesso in x0


Massimi e minimi assoluti e relativi

Sia f(x) una funzione avente per dominio l'intervallo chiuso [a,b], sia x0 ∈ [a,b].

x0 è punto di massimo assoluto per f(x) se ∀ x ∈ [a,b] risulti: f(x)≤f(x0)

x0 è punto di minimo assoluto per f(x) se ∀ x ∈ [a,b] risulti: f(x)≥f(x0)

x0 è punto di massimo relativo per f(x) se ∃ un intorno U (U⊂[a,b]) di x0: ∀ x ∈ U risulti: f(x)≤f(x0)

x0 è punto di minimo relativo per f(x) se ∃ un intorno U (U⊂[a,b]) di x0: ∀ x ∈ U risulti: f(x)≥f(x0)


Teorema:

una funzione continua in un intervallo I è crescente in I se in ogni punto interno ad I la derivata prima è positiva. (enunciato)

ipotesi: f(x) continua in I, f'(x)>0 ∀x∈I

tesi: f(x) è crescente in I


Teorema:

una funzione continua in un intervallo I è decrescente in I se in ogni punto interno ad I la derivata prima è negativa. (enunciato)

ipotesi: f(x) continua in I, f'(x)<0 ∀x∈I

tesi: f(x) è decrescente in I


Teorema:

una funzione continua e derivabile in un intervallo se ha un massimo o minimo relativo in un punto interno ad I allora in quel punto la derivata si annulla (enunciato)

ipotesi: f(x) continua in I, derivabile in I, x0, interno ad I, sia massimo (o minimo) relativo

tesi: f'(x0)=0

Osservazione: il teorema precedente dice che f'(x0)=0 è una condizione necessaria, ma non sufficiente affinchè x0 sia massimo o minimo relativo. Può succedere infatti che in x0 ci sia un flesso orizzontale, ovvero f'(x0)=0 ma derivata positiva sia adestra che a sinistra di x0 e quindi funzione crescente in x0.


Teorema:

una funzione continua con derivata prima e seconda definita in un intorno U di x0 ha la concavità è rivolta verso l'alto se f''(x0)>0.

ipotesi: sia f(x) definita in I, continua, con derivata prima e seconda in un intorno U di x0, interno ad I, sia f''(x0)>0

tesi: La concavità è rivolta verso l'alto


Teorema:

una funzione continua con derivata prima e seconda definita in un intorno U di x0 ha la concavità è rivolta verso l'alto se f''(x0)>0.

ipotesi: sia f(x) definita in I, continua, con derivata prima e seconda in un intorno U di x0, interno ad I, sia f''(x0)<0

tesi: La concavità è rivolta verso il basso


Teorema:

x0 è punto di flesso se f''(x0)=0 se la prima derivata che non si annulla in x0, dopo la seconda' è di ordine dispari.

ipotesi: sia f(x) definita in I, continua, con derivata prima e seconda in un intorno U di x0, interno ad I, sia f''(x0)=0, la prima derivata, dopo la seconda che non si annulla è di ordine dispari (ovvero se f'''(x0)≠0 fv(x0)≠0....)

tesi: x0 è punto di flesso.

Osservazione: il teorema precedente dice che se la prima derivata, dopo la seconda in cui la funzione non si annulla nel punto x0 è di ordine dispari allora nello stesso punto c'è un flesso, ma se è di ordine pari allora la curva rivolge la concavità verso l'alto o verso il basso a seconda che questa derivata sia positiva o negativa.