Skip to main content

Calcolo delle probabilità

Lezioni di matematica on line

Giochi d'azzardo

La dedizione ossessiva a slot machine, videopoker e gratta e vinci sottrae agli italiani molte risorse e provoca una serie di gravi problemi. Lo Stato, che comunque incassa le tasse, si ritrova a pagare elevati costi socio-sanitari per la cura dei ludopatici. L'indebitamento dei giocatori patologici favorisce inoltre, l'usura e l'adescamento da parte della criminalità di giocatori malati. Senza dimenticare questo, nelle prossime righe ci occuperemo, solo ed esclusivamente, del calcolo delle probabilità legato a due giochi quali il poker e i dadi.

Il gioco del poker

Il poker classico si pratica in 4 giocatori con 32 carte cioè 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A. Se il numero di giocatori non è 4, ma 3 o 5 allora la carta più bassa è quella risultante dalla differenza fra 11 e il numero dei giocatori. Nel poker all'americana, invece si usano tutte le 52 carte. Si può notare quindi, analizzando i calcoli fatti sotto, quella che può sembrare una contraddizione, ovvero che, nel gioco classico, il poker è più probabile del colore. Il motivo per cui il colore vale meno del poker è dovuto al fatto che la scala di valori viene costruita in base alla probabilità del gioco all'americana dove, giocando con 52 carte le probabilità sono diverse.

Calcoliamo tutte le probabilità pensando di avere in mano cinque carte scelte a caso dal mazzo.

Applichiamo ovviamente la formula: P(E) = casi favorevoli/casi possibili.

Il poker all'americana



Il numero di casi possibili é: C(52,5) = 2.598.960 infatti bisogna determinare il nimero di sottoinsiemi di 5 elementi in un insieme di 52.
Partiamo dagli eventi meno probabili:

Scala reale

I casi favorevoli per "fare" scala reale sono:

A 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

5 6 7 8 9

6 7 8 9 10

7 8 9 10 J

8 9 10 J Q

9 10 J Q K

10 J Q K A.

Sono dunque 10 le possibili scale che vanno moltiplicate per il numero dei semi per ottenere i casi favorevoli ovvero 40. La probabilità è quindi:

p(E) = 40/2.589.960 = 0,000015

Poker

Sono 13 i possibili modi di fare poker, questo numero va moltiplicato per il numero che si ottiene sottraendo a 52, che è il numero totale delle carte, le carte usate per il poker. Si moltiplica quindi 13 per 48 che sono i diversi modi di scegliere la quinta carta, la probabilità sarà quindi:

p(E) = 13*48/2.598.960 = 624/2.598.960 = 0,00024

Full

Il tris si può fare in 13 modi diversi moltiplicati per C(4,3), la coppia in 12 moltiplicando per C(4,2) e dividiamo poi per i casi possibili:

p(E) = 13*12*C(4,3)*C(4,2)/2.598.960 = 52*72/2.598.960 = 3.744/2.598.960 = 0.0014

Colore

Moltiplicando i modi in cui si possono scegliere 5 carte in un insieme di 13 carte per i 4 semi e sottraendo alla moltiplicazione il numero 40, che rappresenta tutte le possibili scale reali, si ottengono i casi favorevoli:

p(E) =(C(13,5)*4-40)/2.598.960 = 5.108/2.598.960 = 0,0019

Scala semplice

Le scale sono 10, ciascuna delle carte della scala può essere scelta in 4 modi e quindi si moltiplica ancore per il numero 4 elevato alla quinta, infine si sottrae il numero di scale reali che sono 40:

p(E) = (10*45-40)/2.598.960 = 10.200/2.598.960 = 0,0039

Tris

Il tris può essere scelto in 13 modi diversi, questo numero va moltiplicato per C(4,3) che rappresenta i sottoinsiemi di 3 carte in un insieme di 4 carte poi si moltiplica per i modi in cui si possono scegliere le rimanenti due carte in un insieme di 12 moltiplicando quindi due volte per 4,cioè i modi in cui si possono scegliere quelle 2 carte:

p(E) = (13*C(4,3)*C(12,2)*42)/2.598.960 =(13*4*66*16)/2.598.960 = 54.912/2.598.960 = 0,021

Doppia coppia

I casi favorevoli della doppia coppia si ottengono moltiplicando il numero di modi in cui si possono scegliere le due carte con cui fare le 2 coppie ovvero 2 carte in un insieme di 13, moltiplicando questo numero per i modi con cui posso scegliere 4 carte in un insieme di 2, per due volte, dato che le coppie sono 2, moltiplicando ancora il tutto per 44, cioè il numero totale delle carte meno le 8 le utilizzate per le due coppie:

p(E)= (C(13,2)*C(4,2)*C(4,2)*44)/2.598.960 = 78*6*6*44/2.598.960 = 123.552/2.598.960 = 0,047

Coppia

Per calcolarne la probabilità si procede moltiplicando il numero delle carte per seme che sono 13, per i modi con cui si possono scegliere 2 carte in un insieme di 4 e, poi per scegliere le ultime 3 carte facendo in modo che siano diverse tra loro per cui si devono conteggiare i sottoinsiemi di 3 carte in un insieme di 12 ovvero le carte per seme meno quella usata per la coppia, moltiplicando quindi tre volte per 4 poichè ognuna delle restanti tre carte si possono scegliere in 4 modi:

p(E)=13*C(4,2)*C(12,3)*43/2.598.960 = 1.098.240/2.598.960 = 0,422

Il poker classico

Il numero di casi possibili é: C(32,5) = 201.376.
Partiamo dagli eventi meno probabili:

Scala reale

Le possibili combinazioni per avere una scala reale sono:

A 7 8 9 10

7 8 9 10 J

8 9 10 J Q

9 10 J Q K

10 J Q K A

Ovvero le scale sono 5 che moltiplicato per 4, che rappresenta il numero dei semi, dà i casi favorevoli che sono 20, la probabilità di avere una scala reale sono:

20/201.376 = 0,00009 = 0,009%

Colore

Le probabilità del colore si ottengono moltiplicando i modi in cui si possono scegliere 5 carte in un insieme di 8 elementi, poi moltiplicando il numero per 4 cioè il numero dei semi e sottraendo al tutto 20, cioè le possibili scale reali:

((C(8,5)*4)-20)/201.376 = (224-20)/201.376 = 204/201.376 = 0,00101

Poker

Moltiplico le carte per seme che sono 8, per il numero totale delle carte del mazzo meno le carte usate per il poker che sono 4 e divido tutto per i casi possibili:

8*28/201.376 = 224/201.376 = 0,00111 = 0,11%

Full

Il tris lo posso fare in 8 modi, questo numero va moltiplicato per 7 che sono i modi secondo cui posso fare la coppia, si moltiplica ancora per i modi in cui si possono scegliere 3 carte in un'insieme di quattro, cioè il tris e poi i modi in cui si possono scegliere 2 carte in un'insieme di 4, per la coppia:

(8*7*C(4,3)*C(4,2))/201.376 = 1.344/201.376 = 0,0066

Scala semplice

Le scale sono 5, ciascuna delle carte della scala può essere scelta in 4 modi e quindi si moltiplica ancore per il numero 4 elevato alla quinta, infine si sottrae il numero di scale reali che sono 20:

(5*45-20)/201.376 = 5.100/201.376 = 0,025

Tris

Basta moltiplicare le carte per seme per i modi in cui si possono scegliere le tre carte del tris in un'insieme di 4 elementi e poi i modi in cui si possono scegliere le ultime due carte nelle carte rimanenti, ovvero 7 e poi moltiplicando ancora per quattro al quadrato, che sono i modi in cui si possono scegliere le 2 carte nei diversi semi:

8*C(4,3)C(7,2)*42/201.376 = 8*4*21*16/201.376 = 10.752/201.376 = 0,053

Doppia coppia

La probabilità della doppia coppia si ottiene moltiplicando il numero di modi in cui si possono scegliere le due carte con cui fare le 2 coppie ovvero 2 carte in un insieme di 8, moltiplicando questo numero per i modi con cui posso scegliere 4 carte in un insieme di 2, per due volte, dato che le coppie sono 2, moltiplicando ancora il tutto per 24, cioè il numero totale delle carte meno le 8 le utilizzate per le due coppie, dividendo tutto per i casi possibili:

(C(8,2)*C(4,2)*C(4,2)*24)/201.376 = 28x6x6x24/201.376 = 24.192/201.376 = 0,12

Coppia

Per calcolarne la probabilità si procede moltiplicando il numero delle carte per seme che sono 8, per i modi con cui si possono scegliere 2 carte in un insieme di 4 e, poi per scegliere le ultime 3 carte facendo in modo che siano diverse tra loro per cui si devono conteggiare i sottoinsiemi di 3 carte in un insieme di 7 ovvero le carte per seme meno quella usata per la coppia, moltiplicando quindi tre volte per 4 poichè ognuna delle restanti tre carte si possono scegliere in 4 modi:

8*C(4,2)*C(7,3)*43/201.376 = 8*6*35*64/201.376 = 107.520/201.376 = 0,53

Il gioco dei dadi

Nel 1600 era molto diffuso un gioco d'azzardo con tre dadi e ovviamente si pose il problema di sapere su quale uscita fosse più conveniente scommettere. I giocatori di quell'epoca non sapendo come regolarsi, eseguivano un gran numero di lanci ed in pratica calcolavano la frequenza relativa delle varie uscite. Si noti che lanciando tre dadi le uscite variano da 3 a 18. A volte però i dadi non erano proprio perfetti, o forse i lanci non erano così numerosi da capire come poteva variare la frequenza, al punto che qualcuno pensò che il 9 ed il 10 uscissero con la stessa probabilità. Fu proprio Pascal, al quale si rivolse un amico per chiedere lumi sul problema, a sistematizzare il tutto e, dalla soluzione di questo ed altri problemi, nacque il calcolo delle probabilità.


uscitecasi favorevoliprobabilità
3 1 0,00463
4 3 0,013889
5 6 0,027778
6 10 0,046296
7 15 0,069444
8 21 0,097222
9 25 0,115741
10 27 0,125
11 27 0,125
12 25 0,115741
13 21 0,097222
14 15 0,069444
15 10 0,046296
16 6 0,027778
17 3 0,013889
18 1 0,00463
somma216 1
 

Nella tabella sono riportate, nella prima colonna le uscite che, come già detto, vanno da 3 a 18, nella seconda colonna sono calcolati i casi favorevoli, nella terza la probabilità. Sommando tutti i casi favorevoli otteniamo 216 che sono i casi possibili come si nota nell'ultima riga della tabella. Calcoliamo i casi possibili. Si tratta di disposizioni con ripetizione, infatti lanciando il primo dado le uscite possibili sono 6, lanciando il secondo 6, lanciando il terzo ancora 6, per un totale di 63=216. Questo numero è uguale anche al numero di applicazioni che si possono creare nel caso in cui il dominio sia composto da 3 elementi ovvero il numero dei lanci, ed il codominio da 6 elementi, ovvero il numero delle facce del dado. Vediamo ora come calcolare quanti sono i casi favorevoli all'uscita del 10, lasciando il calcolo di tutti gli altri eventi per esercizio. Il 10 può realizzarsi con:

541 ... in 6 modi che sono le permutazioni di tre cifre tutte diverse: 541, 514, 415, 451, 145, 154.   

532 ... in 6 modi:   532 523, 325, 352, 235, 253.

631 ... in 6 modi:  631, 613, 361, 316, 136, 163.

622 ... in 3 modi:  622, 262, 226.

442 ... in 3 modi:  442, 424, 244.

334 ... in 3 modi:  334, 343, 433.

Per un totale di 27 casi possibili. Per il calcolo della probabilità bisogna poi dividere 27 per 216 che è il numero dei casi possibili. Sommando le probabilità di tutti i casi otteniamo 1.

Nella figura di sotto sono riportati i grafici della frequenza relativa e della probabilità dell'esperimento: lancio di tre dadi. Tramite il foglio elettronico (con la variabile "casuale") si sono simulati 1000 lanci di tre dadi e si è conteggiato (con la funzione "conta.se") il numero di volte che si è verificato come somma delle tre facce l'evento: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.



La frequenza relativa si è calcolata dividendo la frequenza assoluta per 1000. La probabilità è stata calcolata quindi con la formula: P(E)=casi possibili/casi favorevoli. Se avessimo fatto la simulazione di 10000 lanci i due grafici sarebbero risultati praticamente sovrapposti. Si noti ancora che si tratta di grafici a "campana" con picco sull'evento 10 e 11 che sono i più probabili.