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Serie di Fibonacci

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Sezione aurea

La sezione aurea di un segmento viene definita come quella parte media proporzionale fra l'intero segmento e la parte rimanente

2/12
3/21,5
5/31,666...
8/51,6
13/81,625
21/131,61538...
34/211,61905...
55/341,61765...
89/551,61818...
144/891,61798
233/1441,61806...

Si ritiene quindi che il rettangolo ideale sia quello che ha il lato maggiore medio proporzionale tra la somma dei due lati e il lato minore, ovvero se indichiamo con x il lato minore e y il lato maggiore la proporzione che ne consegue è la seguente: x+y:y=y:x. Quindi (x/y)+(y/y)=(y/x) ovvero (x/y)+1=(y/x). Se poniamo y/x=n otteniamo: (1/n)+1=n e moltiplicando per n otteniamo 1+n=n2. Quella scritta è l'equazione di secondo grado n2 -n -1 = 0, che fornisce due valori di cui uno è negativo e quindi non può essere acettato come rapporto di due segmenti e l'altro è l'esatto valore: (1+√5)/2. Il numero così ottenuto è il numero irrazionale 1,618...chiamato coefficiente aureo. Parlando della sequenza di Fibonacci, non si può non trattare anche della sezione aurea. Da sempre in filosofia, in matematica, ma soprattutto nella storia dell'arte, ci si è chiesto quale fosse la maniera più bella per dividere un segmento o quale rettangolo avesse le proporzioni piu "belle". Ci sono molti esempi in architettura di edifici famosi che hanno la pianta o la facciata che è un rettangolo con queste proporzioni. Botticelli, Leonardo da Vinci avevano una fissazione per la sezione aurea. Il famoso quadro della Gioconda è suddiviso in rettangoli con le proporzioni auree. L'uomo vitruviano ha il rapporto tra l'altezza uomo e l'altezza ombelico pari al coefficiente aureo. Oggi i bancomat, le carte di credito e varie tessere che teniamo nel portafoglio sono rettangoli nei quali dividendo la misura del lato maggiore per la misura del lato minore otteniamo il coefficiente aureo. Cosa c'entra la sezione aurea con i numeri di Fibonacci? Il rapporto fra due numeri di Fibonacci consecutivi, con l'alzarsi dei numeri, tende ad approssimare sempre di più il coefficiente aureo. La tabella mostra l'evolversi dei rapporti fra numeri di Fibonacci consecutivi.

Bastano anche solo i primi 10 numeri di Fibonacci per avere un rapporto aureo approssimato già a tre cifre decimali.

Ecco invece dove appare la sezione aurea in natura. Se si prova a sottrarre dal rettangolo di partenza un area pari al quadrato generato dal lato minore, si otterrà un nuovo rettangolo ancora una volta in proporzione aurea; togliendo ancora un quadrato dal rettangolo, si otterrà un rettangolo più piccolo ma sempre con la proporzione aurea.

Proseguendo con lo stesso procedimento, si otterranno dunque una serie di rettangoli sempre più piccoli, ma tutti simili. In figura si vede la spirale formata dalla scia d'acqua conseguente al movimento della testa della ragazza. Se disponiamo i rettangoli creati col procedimento prima descritto e tracciamo un arco di cerchio avente per raggio il lato del quadrato, la figura che si ottiene è una spirale logaritmica.

La spirale logaritmica è quindi strettamente legata ai numeri di Fibonacci. L'accrescimento biologico di alcune specie, la disposizione dei petali in alcuni tipi di fiori e dei semi del girasole, pigne, ananas, presentano schemi riconducibili a quello della serie di Fibonacci. I gusci di alcuni molluschi hanno sezioni come una perfetta spirale logaritmica. Per questo ed altri motivi la sezione aurea è sempre stata considerata l'espressione matematica della bellezza e dell'armonia della natura.

Si consideri che, nella figura di sotto, i segmenti rappresentano delle strade. Vogliamo conteggiare il numero di percorsi che mi permettono, partendo dallo start e andando sempre in avanti, di arrivare ad un certo punto. Al punto 1 posso arrivare attraverso un unico percorso. Al punto 2 pure. Al punto 3 posso arrivare o da 2 o da 1 quindi in 2 modi diversi. Al punto 4 posso arrivare o passando per 2 o passando per 3 quindi in 3 modi diversi. Come si può notare, più in generale, posso arrivare ad un certo punto attraversando i due punti precedenti e quindi nel conteggio devo fare la somma dei percorsi che mi permettono di arrivare ai due punti precedenti, quindi 1, 1, 2, 3, 5, 8 .... ritrovo così i numeri di Fibonacci.