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Geometria analitica

Lezioni di matematica on line

La retta

Per ricavare l'equazione di una retta si considerino due suoi punti, P(x1, y1) e Q(x2, y2), il punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate lo chiamiamo R e avrà cordinate (0,q). Se la retta passa per l'origine, q sarà uguale a zero. Si considerino i due triangoli rettangoli, PQT e RPS.


I due triangoli presi in considerazione sono simili essendo triangoli rettangoli, e avendo anche gli altri due angoli uguali. I loro cateti sono in proporzione quindi vale la relazione:

ovvero

che si può scrivere

Il rapporto tra l'incremento delle ordinate, Δy e l'incremento delle ascisse, Δx si chiama coefficiente angolare m=Δy/Δx. Se, come per esempio in figura, m=2/3 allora per ogni incremento delle x di 3 il relativo incremento delle y è 2, dunque

m è un parametro molto importante poichè da tale valore dipende l'inclinazione della retta. Se m è positivo la retta sarà crescente, se m è negativo decrescente, se m=0 la retta non sarà nè crescente nè decrescente e quindi orizzontale. Proseguendo, sostituiamo m ottenendo:

ricaviamo y1

  ovvero  

Abbiamo ricavato y1 in funzione di x1 pensando che P può essere un qualsiasi punto sulla retta di coordinate generiche P(x;y) otteniamo l'equazione della retta:

Si tratta di un'equazione di primo grado a due incognite. Il calcolo dell'equazione dell'asse di un segmento è in linea con questo risultato.

L'equazione di una retta passante per l'origine è del tipo: y=mx in tal caso infatti il punto R in figura, corrisponde con l'origine del sistema di riferimento e quindi q=0.

L'asse delle "x" è costituita da punti che hanno l'ordinata nulla mentre l'ascissa varia su tutto l'insieme dei numeri reali R, quindi l'equazione y=0 rappresenta l'asse delle "x" e x=0 l'asse delle "y". Analogamente, i punti delle rette parallele ad uno dei due assi hanno una coordinata costante mentre l'altra varia sull'insieme R. Indicando con k il valore di questa costante, le loro equazioni risultano quindi: y=k per le rette parallele all'asse delle ascisse, oppure x=k per le rette parallele all'asse delle ordinate.

Un'equazione di primo grado a due incognite è un'equazione indeterminata e ha quindi infinite soluzioni. Una soluzione è costituita da una coppia ordinata di numeri reali, tutte le infinite soluzioni dell'equazione, costituiscono le coordinate dei punti della retta. La retta è quindi il luogo geometrico i cui punti rappresentano le soluzioni di un'equazione di primo grado a due incognite. Le equazioni di primo grado a due incognite per questo motivo vengono anche dette equazioni lineari. L'appartenenza di un punto ad una retta o, più in generale ad un luogo geometrico può essere verificata sostituendo le coordinate del punto nell'equazione che rappresenta il luogo stesso, se l'equazione è verificata il punto appartiene al luogo, altrimenti non vi appartiene. In generale, dato che l'intersezione tra due luoghi geometrici è costituita da tutti e soli i punti soddisfacenti le equazioni di entrambi, il metodo di mettere a sistema queste equazioni per individuare i punti comuni ai due luoghi è del tutto generale e vale per qualunque curva. Se questo sistema è impossibile i luoghi geometrici non hanno punti in comune, se invece il sistema ammette soluzioni, ad ogni soluzione corrisponde un punto in comune.

Fasci di rette

Un fascio di rette si dice proprio se ogni sua retta passa per lo stesso punto, detto centro del fascio.

Per determinare l'equazione del fascio di centro il punto C(3;2), si considera l'equazione della retta generica: y=mx+q e siccome la retta deve passare per C è necessario che le coordinate di C soddisfino l'equazione, dunque: 2=3m+q, ricaviamo q in funzione di m: q=-3m+2 e sostituiamo tale risultato, nell'equazione generica della retta: y=mx-3m+2 raccogliamo m ottenendo: y=m(x-3)+2 che possiamo anche scrivere: y-2=m(x-3). Al variare di m otteniamo tutte le rette passanti per C, tranne l'equazione della parallela all'asse delle ordinate, ovvero la retta verticale passante per C che ha equazione x=3. Più in generale dato un punto C(x1;y1) l'equazione del fascio di centro C é del tipo: y-y1=m(x-x1) al variare di m si ottengono tutte le rette passanti per C tranne che la retta di equazione x=x1.

Un fascio di rette si dice improprio se le sue rette sono tutte parallele tra loro.

Per determinare l'equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta di coefficiente angolare -2 basta far variare il termine noto q, quindi y=-2x+q rappresenta l'equazione di un fascio improprio di rette.

Retta per due punti.

Si considerino i due punti, P(x1, y1) e Q(x2, y2). Dato che per due punti passa una ed una sola retta, ne vogliamo determinare l'equazione. La retta deve appartenere al fascio proprio di centro P ovvero:

Il coefficiente angolare di una retta, come visto è dato da:

Sostituendo nell'equazione del fascio

tenendo conto che P e Q sono punti distinti quindi y2-y1≠0, dividiamo entrambi i membri per y2-y1 e otteniamo così l'equazione della retta passante per due punti:


All'inizio del capitolo, si è dimostrato che una retta si rappresenta tramite un'equazione del tipo y=mx+q. Dimostriamo ora che vale anche il viceversa, ossia che nel piano cartesiano, un'equazione di primo grado a due incognite, rappresenta una retta. Partendo dall'equazione y=mx+q si possono determinare due punti del luogo geometrico dando per esempio a x i valori 1 e 2 ottenendo così i punti A(1;m+q) e B(2;2m+q). Se applichiamo la formula della retta passante per due punti ad A e B, semplici calcoli ci portano ovviamente a ricavare l'equazione y=mx+q, abbiamo dimostrato quindi che l'equazione di una retta passante per A e B è quella di partenza.

Condizione di parallelismo

Supponiamo di avere due rette nel piano r: ax+by+c=0, r': a'x+b'y+c'=0. Mettiamo a sistema le equazioni che rappresentano le due rette. Il sistema corrispondente può avere un'unica soluzione se le rette sono incidenti, infinite soluzioni se esse sono coincidenti oppure nessuna soluzione se esse sono parallele e distinte. Per valutare le condizioni di parallelismo analizziamo in modo più dettagliato le situazioni che vengono a crearsi:


Il sistema è possibile, ovvero le rette sono incidenti, se vale la seguente condizione:


Il sistema è indeterminato, ovvero le rette sono sovrapposte, se vale la seguente condizione:


Il sistema è ipossibile, ovvero le rette sono parallele, se vale la seguente condizione:


Dalla relazione di sopra si ottiene:


Partendo dall'equazione:

Partendo dall'equazione:

esplicitiamo la y:

esplicitiamo la y:

otteniamo:

otteniamo:

Notiamo che i coefficienti angolare delle due rette prese in considerazione sono rispettivamente m=-a/b, m'=-a'/b' e nell'ultima relazione, si è visto che, nel caso delle rette parallele, a/b=a'/b'. Si è ottenuto quindi il risultato che se due rette sono parallele allora hanno lo stesso coefficiente angolare. Viceversa se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare, ma termine noto diverso allora appartengono allo stesso fascio improprio e sono quindi parallele. Possiamo dedurre la relazione di parallelismo tra le rette ovvero:

Due rette sono parallele se e solo se i relativi coefficienti angolari sono uguali.

Condizione di perpendicolarità

Si è visto che l'equazione della retta passante per A(x1;y1) e B(x2;y2) è del seguente tipo:

Esplicitando la y si ottiene:





Si è visto anche qual'è l'equazione dell'asse del segmento AB ovvero:

Teniamo presente che le ultime due equazioni rappresentano due rette che sono tra di loro perpendicolari. Indicando con m il coefficiente angolare della retta AB e con m' il coefficiente angolare dell'asse del segmento AB, si noti che uno è opposto e reciproco dell'altro.

Viceversa si può dimostrare che due rette aventi equazioni con i coefficienti angolari opposti e reciproci sono perpendicolari. Per far ciò si può individuare su una delle due rette un segmento in modo che l'altra retta intersechi il suo punto medio. A questo punto si dimostra che tale retta costituisce l'asse del segmento verificando che un suo punto generico è equidistante dagli estremi del segmento.

Supponiamo, per esempio, di avere le due rette r: y=3x+1, r': y=-(1/3)x+13/3, si noti che i rispettivi coefficienti angolari sono opposti e reciproci, dimostriamo che le rette sono perpendicolari. Mettendo a sistema le due rette si determina la soluzione (1;4) che corrisponde alle coordinate del punto Q di intersezione delle due rette. Prendiamo sull'asse delle x due punti equidistanti dal punto 1 che rappresenta l'ascissa di Q, per esempio 0 e 2. Se nell'equazione della retta r' sostituiamo a x il valore 0 troviamo che la relativa y vale 1, se nelle stessa equazione sostituiamo a x il valore 2 troviamo che la relativa y vale 7. In tal modo abbiamo individuato sulla retta r' due punti A(0;1) e B(2;7) equidistanti da Q(1;4). Ora basta verificare che il punto generico P della retta r' è equidistante da A e da B. Il punto generico della retta r' ha coordinate: P(x;-(1/3)x+13/3), calcoliamo le distanze d(P;A) e d(P;B).

Sviluppando le rispettive formule delle due distanze otteniamo che danno lo stesso risultato:

In tal modo abbiamo dimostrato che il punto generico P della retta r' risulta essere equidistante da A e B, per questo r' è l'asse del segmeto AB e siccome il segmento AB sta sulla retta r', abbiamo dimostrato che r è perpendicolare ad r'.

Basterebbe ora riproporre la stessa verifica per due rette di equazioni generiche sempre con i coefficienti angolari opposti e reciproci e dimostrare che una può essere l'asse di un particolare segmento che appartiene all'altra retta.

La distanza di un punto da una retta.

Per calcolare la distanza di un punto P di coordinate (x1, y1) da una retta r di equazione y = m x + q si determina il fascio di rette di centro P (x1, y1). Si sostituisce al coefficiente angolare m il valore -1/m, in modo che la retta risultante sia perpendicolare a quella assegnata. Si determini il punto punto di intersezione delle rette mettendo a sistema le due equazioni. Infine si calcoli la distanza tra il punto di intersezione trovato e quello di coordinate (x1, y1). Dalla procedura vista si può anche ricavare una formula che che consenta di calcolare direttamente la distanza di un punto da una retta. Tuttavia, un'applicazione consapevole della procedura, seppur laboriosa, appare più utile per imparare ad interconnettere alcuni concetti importanti e per questa ragione, tale formula non viene calcolata.