Indici di posizione
Gli indici di posizione costituiscono un modo semplice ed immediato per sintetizzare in un solo valore una raccolta di dati eterogenei.
Medie ferme
Si definiscono medie ferme quelle che utilizzano tutti i valori della distribuzione di frequenza, per individuare una particolare modalità che ha una collocazione centrale rispetto a tutte le altre.
Media aritmetica e ponderata
Definizione: la media aritmetica di una serie di dati sperimentali x1, x2, ... xn viene calcolata sommando i valori, dividendoli poi per il loro numero complessivo.
La media aritmetica è l'indice statistico più utilizzato al quale si fa riferimento anche nel parlare comune, rappresenta e riassume in se un insieme di dati presi su un fenomeno misurabile.
La media aritmetica gode delle seguenti proprietà:
Internalità: La media è sempre compresa tra il valore minimo e il valore massimo della distribuzione.
Baricentricità: La media rende nulla la somma degli scarti.
Linearità: se si aggiunge una costante a tutti i valori della distribuzione, la nuova media sarà pari alla vecchia media più la costante. Se si moltiplica tutti i valori della distribuzione per una costante, la nuova media sarà pari alla vecchia media per la costante.
Associatività: se si divide la distribuzione in n sottoinsiemi e se ne si calcola la media di ogni sottoinsieme, la media generale sarà pari alla media ponderata delle n medie dei sottoinsiemi.
La media rende minima la somma degli scarti al quadrato.
Definizione: scarto è la differenza tra un dato della distribuzione e la media.
Definizione: la media aritmetica ponderata (o media pesata) di una serie di dati sperimentali x1, x2, ... xn ai quali sono associati i pesi p1, p2, ... pn viene calcolata dividendo la somma dei prodotti dei valori per il rispettivo peso, per la somma dei pesi stessi.
Media armonica
La media armonica di n termini x1, x2 ... xn, è data dal reciproco della media aritmetica dei reciproci.
La media armonica è utilizzata per la determinazione di valori medi di certi dati che sono espressi in funzione del reciproco di altri dati. Trova applicazione per il calcolo del prezzo medio di un bene allo scopo di determinare il potere di acquisto della moneta nel tempo, oppure per calcolare la velocità media di un veicolo che percorre spazi uguali a velocità differenti.
Media geometrica
La media geometrica di n termini x1, x2 ... xn, è la radice n-esima del prodotto degli n valori.
La media geometrica è utilizzata per la determinazione di valori medi quando i dati sono legati l'uno l'altro a variazioni legate nel tempo, ad esempio per determinare il tasso medio di interesse di un capitale.
Media quadratica
La media quadratica di n termini x1, x2 ... xn, e' data dalla radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei numeri.
La media quadratica è utilizzata per la determinazione di valori medi quando si deve eliminare l’influenza dei segni e quando si deve evidenziare l’esistenza nella distribuzione di valori molto grandi o molto piccoli. La media quadratica trova applicazione nell’analisi di superfici.
Esiste la seguente relazione d'ordine tra i vari tipi di media: A<G<M<Q. Dove si è indicato con la lettera A la media armonica, con la G la media geometrica, con M la media aritmetica, e con Q la media quadratica.
Medie lasche
Si definiscono medie lasche quelle che utilizzano solo alcuni valori particolari della distribuzione di frequenza, per individuare una particolare modalità che ha una collocazione centrale rispetto a tutte le altre. Tra le medie lasche, sono riconducibili: moda, mediana e quartili.
Moda
La Moda o valore normale è la modalità del carattere cui corrisponde la massima frequenza. E’ data dalla modalità con la massima frequenza E’ l’unica media che si può applicare indifferentemente a serie e a seriazioni ed appunto questa la sua maggiore utilità La Moda di una distribuzione di frequenza è la modalità cui corrisponde la massima frequenza, assoluta o relativa. Per distribuzioni che presentano due o più modalità con massima frequenza si parla di distribuzioni bimodali o plurimodali. La moda può essere calcolata per qualunque carattere statistico, sia esso qualitativo che quantitativo. Nella realtà, essa trova però scarsa applicazione nel caso di variabili continue (distribuzione in classi) in quanto: appare irreale immaginare che vi sia un unico valore moda della distribuzione affermare che per una classe modale (classe con maggior frequenza) il valore centrale sia rappresentativo della stessa è una semplificazione non facilmente accettabile.
Mediana
La mediana è particolarmente utile nella sintesi di distribuzioni asimmetriche; in questo caso infatti la media aritmetica, considerando anche i valori estremi anomali, finirebbe col sovrastimare il fenomeno. Per distribuzioni in classi, la mediana si calcola in due passi. Innanzi tutto si perviene alla identificazione della classe mediana come quella classe la cui funzione di ripartizione F è pari a ½. Successivamente si identifica, attraverso un calcolo proporzionale, il valore mediano all’interno della classe mediana. La mediana di una serie di dati sperimentali x1, x2, ... xn è il valore centrale, se n è dispari, la media aritmetica dei due valori centrali, se n è pari
Quartili
Come già affermato, la mediana è un indice che bipartisce egualmente la distribuzione ordinata. Estendendo questo concetto a più ripartizioni è possibile definire i quartili. Dividendo egualmente la distribuzione in quattro parti, si identificano: il primo quartile Q1. Rappresenta quella modalità tale che il 25% delle osservazioni assumono valori inferiori ad essa mentre il restante 75% hanno valori superiori. il secondo quartile Q2 che equivale alla mediana. il terzo quartile Q3. Rappresenta quella modalità tale che il 75% delle osservazioni assumono valori inferiori ad essa mentre il restante 25% hanno valori superiori. Analogamente, ripartendo la distribuzione in dieci o cento parti, si possono definire i decili così come i percentili. La mediana corrisponderà al quinto decile e al cinquantesimo percentile.