Skip to main content

Funzioni

Lezioni di matematica on line

Funzioni trigonometriche

Le funzioni goniometriche sono funzioni che associano angoli a numeri reali, sono quindi funzioni che hanno angoli nel dominio e numeri reali nel codominio.

Unità di misura degli angoli

Le unità di misura più usate per misurare gli angoli sono due: il grado ed il radiante.

Definizione: grado è la trecentosessantesima parte dell'angolo giro.

Definizione: radiante è l'angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio.

Il sistema di misurazione in cui l'unità è il grado è chiamato sistema sessagesimale in quanto il sottomultiplo del grado è il primo che è la sessantesima parte del grado e il sottomultiplo del primo è il secondo che è la sessantesima parte del primo. Il grado viene usato più frequentemente nei calcoli. Il radiante viene usato soprattutto, per disegnare i grafici delle funzioni goniometriche. La definizione di grado deriva storicamente dal fatto che, pensando la terra ferma al centro dell'universo, il sole ne fa un giro completo in circa 360 giorni. I sottomultipli del grado, primi e secondi, stanno come i minuti ed i secondi rispetto all'ora. La definizione di radiante sfrutta il fatto che tra circonferenza e raggio c'è il rapporto costante 2π.

Conversione di gradi in radianti e radianti in gradi

Per passare attraverso i calcoli da un'unità di misura all'altra bisogna vanno impostate delle proporzioni. Si sfrutta per esempio il fatto che un angolo giro è 180 gradi che corrisponde π radianti. Se vogliamo sapere quanto misura in gradi un radiante, impostiamo la seguente proporzione: x°:1=180:π da cui segue: x°=180/π otteniamo 57,295779, ma le cifre dopo la virgola esprimono i sottomultipli del grado in decimi, centesimi, millesimi.... sappiamo invece che i sottomultipli del grado sono espressi in primi e secondi che sono rispettivamente la sessantesima parte del grado e la sessantesima parte del primo. E' necessario quindi convertire il numero 0,295779 in sessantesimi, va impostata quindi una nuova proporzione: 295779:1000000=x:60 da cui x=(60*295779)/1000000=17,746770. La parte intera del numero così trovato cioè 17 rappresenta i primi, la parte del numero 0,746770, dopo la virgola analogamente va convertita in sessantesimi quindi si imposta la nuova proporzione 746770:1000000=x:60 da cui si ottiene 44,9 che rappresenta il numero dei secondi quindi arrotondando dunque si ottiene:

1 rad=57° 17' 45''.

Dovendo convertire i gradi in radianti per esmpio se vogliamo sapere quanto misura in radianti un grado, impostiamo la seguente proporzione: 1:xrad=180:π da cui x=π/180=0,01745, per cui si ottiene:

1°= 0,01745rad

Analogamente si procede per trasformare la misura di un qualsiasi angolo da un'unità di misura all'altra. Con la calcolatrice scientifica queste operazioni si eseguono comunque in modo automatico.

Circonferenza goniometrica

Definizione: Chiameremo circonferenza goniometrica la circonferenza avente centro nell'origine del sistema di riferimento e raggio di lunghezza 1.


In figura è rappresentata la circonferenza goniometrica. Sia P un punto vincolato a percorrere la circonferenza in senso antiorario. Sia x l'angolo al centro della circonferenza AOP.


Definizione: sin(x)=PH

Definizione: cos(x)=OH

Definizione: tan(x)=AT

Definizione: cot(x)=EC


Si sono volute indicare le funzioni seno, coseno, tangente e cotangente con i simboli sin cos tan e cot che sono i simboli con cui queste funzioni vengono individuate dalle calcolatrici scientifiche. Il punto P quindi ha per ascissa cosx e per ordinata sinx. Il seno ed il coseno assumono quindi valori che vanno da -1 a 1, la tangente e la cotangente invece, assumono valori tra +∞ e -∞.

I valori di seno coseno e tangente degli angoli di 30° 45° 60°

Calcoliamo il seno di 30° ovvero di π/6 rad.

A destra, in figura, supponiamo che l'angolo CAB sia di 30° supponiamo anche che AC sia uguale al raggio della circonferenza goniometrica ovvero 1. Se facciamo compiere al triangolo ABC una rotazione attorno al lato AB otteniamo il triangolo ABC'. Tale triangolo è equiangolo e quindi equilatero, infatti l'angolo ACB è 60° come pure l'angolo BC'A in quanto è ottenuto raddoppiando un angolo di 30° ed anche BC'A è 60°. In tale triangolo la bisettrice AB è pure altezza ma anche mediana per cui divide il lato CC'in due parti uguali. Il lato CC' è 1 perchè si tratta di un triangolo equilatero, BC è quindi 1/2 e questo valore corrisponde proprio al seno di 30°.

Calcoliamo ora il seno di 45° ovvero π/4 rad.

A destra, in figura, l'angolo DFG è 45° allora anche l'angolo FDG è 45°, Infatti l'angolo DFG è retto per costruzione e siccome la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° allora gli altri due angoli sono anch'essi di 45°. Da queste considerazioni ne consegue che il triangolo DFG è isoscele. Il seno di 45° é quindi uguale al coseno di 45° e per calcolare questo valore sfruttiamo il teorema di Pitagora. Chiamato x il seno ed il coseno di 30° possiamo impostare la seguente equazione:

x2+x2=1 ovvero 2x2=1 ovvero x2=1/2 ovvero x= √(1/2) e razionalizzando il denominatore x=(√2)/2.

Notiamo che sen30°=cos60°, ma più in generale che sin(α)=cos(90°-α). Per calcolare i valori di tangente e cotangente sarà sufficiente pensare che tanx=sinx/cosx quindi tan30°=√3/3, tan45°=1, tan60°=√3.


Gli angoli associati

Per angoli associati si intendono i seguenti angoli: 90°-α,   90°+α,  180°-α,  180°+α  270°-α, 270°+α , 360°-α.

A destra in figura, l'angolo AOB sia α e l'angolo BOC sia 180°-α.

Si può notare che CD=BA, ma

CD=sin(180°-α)

BA=sin(α),

da cui:

sin(180°-α)=sin(α)

analogamente DO=-OA ovvero:

cos(180°-α)=-cos(α)

Accanto a quelle già scritte si possono ricavare ulteriori relazioni tra i valori che le funzioni assumono negli angoli associati:

sin(180°-α)=sin(α)    sin(180°+α)=-sin(α)    sin(360°-α)=-sin(α).

cos(180°-α)=-cos(α)    cos(180°+α)=-cos(α)    cos(360°-α)=cos(α)

A destra in figura, l'angolo AOB sia α e l'angolo DOA sia 180°-α.

Si può notare che AB=-BC

AB=tan(α)

BC=tan(180-α)

da cui:

tan(α)=-tan(180-α)

Accanto a quelle già scritte si possono ricavare ulteriori relazioni tra i valori che le funzioni assumono negli angoli associati:

tan(180°-α)=-tan(α)    tan(180°+α)=tan(α)    tan(360°-α)=-tan(α)

cot(180°-α)=-cot(α)    cot(180°+α)=cot(α)    cot(360°-α)=-cot(α).

A destra, in figura, consideriamo il primo quadrante della circonferenza goniometrica. L'angolo AOB, che in figura è chiamato angolo α, lo si è costruito uguale all'angolo EOC, l'angolo COD è quindi 90°-α.

Il lato AB è sin(α) e il lato CD è cos(90°-α).

I due triangoli OAB e COD sono uguali per avere un lato uguale e due angoli uguali.

I lati sono OC=OA (perchè entrambi sono il raggio della circonferenza goniometrica).

I due angoli uguali sono rispettivamente CDO=ABO=90° e AOB=OCD=α, per costruzione.

Gli elementi dei due triangoli sono quindi uguali, in particolare OD=AB in quanto lati opposti ad angoli uguali in triangoli uguali, ma OD=cos(90°-α) e AB=sin(α) quindi vale la seguente relazione: sin(α)=cos(90°-α). Accanto a quella scritta si possono ricavare ulteriori relazioni tra i valori che le funzioni assumono negli angoli associati:

sin(α)=-cos(90+α)

sin(90°-α)=cos(α)

sin(90°+α)=cos(α)

cos(α)=-sin(270°+α)

cos(270°+α)=sin(α)

sin(α)=-cos(270°-α)

sin(270°-α)=-cos(α)

La tabella, a destra, comprende alcuni valori delle funzioni seno, coseno, tangente, cotangente, ottenuti con le relazioni sugli angoli associati e tenendo conto dei valori che queste funzioni assumono quando l'angolo α è di 30°, 45°, 60°. La funzione seno nel primo e secondo quadrante assume valori positivi, nel terzo e quarto valori negativi. La funzione coseno nel primo e quarto quadrante assume valori positivi, nel secondo e terzo valori negativi. La funzione tangente nel primo e terzo quadrante assume valori positivi, nel secondo e quarto valori negativi. La funzione cotangente nel primo e terzo quadrante assume valori positivi, nel secondo e quarto valori negativi. La funzione tangente è data dal rapporto sinx/cosx, per cui a 90°, 270° non esiste in quanto cos90°=cos270°=0, analogamente la funzione cotangente è data dal rapporto cosx/sinx, per cui a 0°, 180° non esiste in quanto sen0°=sin180°=0.


xradsen(x)cos(x)tan(x)cot(x)
0010
30π/61/2√3/2√3/3√3
45π/4√2/2√2/211
60π/3√3/21/2√3√3/3
90π/210
0
1202π/3√3/2-1/2-√3-√3/3
1353π/4√2/2-√2/2-1-1
1505π/61/2-√3/2-√3/3tan(x)
180π0-10
2104π/3-1/2-√3/2√3/3√3
2255π/4-√2/2-√2/211
2404π/3-√3/2-1/2√3√3/3
2703π/210
0
3005π/3-√3/21/2-√3-√3/3
3157π/4-√2/2√2/2-1-1
33011π/6-1/2√3/2-√3/3-√3/3
360010

Se l'angolo α da 0° tende a diventare un angolo retto, la funzione tanα tende a +∞. Se l'angolo α da 120° tende a diventare un angolo retto, la funzione tanα tende a -∞. Se l'angolo α da 120° tende a diventare un angolo di 270°, la funzione tanα tende a +∞. Se l'angolo α da 0° tende a diventare un angolo di 270°, la funzione tanα tende a -∞

Grafici delle funzioni seno e arcoseno


In figura il grafico della funzione sinx l'unità di misura degli angoli è il radiante. L'insieme immagine della funzione seno è l'intervallo compreso tra -1 e 1. E' una funzione periodica di periodo 2π. Si può dimostrare che il grafico della funzione seno ha delle specifiche caratteristiche sempre nel caso in cui l'unità di misura sia il radiante e la scala 1:1. In particolare la tangente nell'origine alla funzione corrisponde alla retta y=x. Si veda Limiti notevoli. Per questo motivo nella rappresentazione della funzione si usa tale unità di misura. Se usassimo il grado il grafico della funzione seno sarebbe sempre una sinusoide ma molto più "allungata" per eseguire una sinusoide completa sarebbero infatti necessarie 360 tacche sull'asse delle ascisse.



La funzione seno non è nè iniettiva nè surittiva. Per renderla biettiva e quindi invertibile, sono necessarie delle opportune restrizioni. In particolare per renderla suriettiva si restringe il codominio all'insieme immagine ovvero l'intervallo tra -1 e 1, per renderla iniettiva si restringe il dominio agli angoli compresi tra -π/2 e π/2. La funzione seno con le dette restrizioni f:[-π/2,π/2]→[-1,1] risulta essere invertibile. Lo si nota, dal punto di vista grafico, poichè su ogni orizzontale, condotta all'interno del rettangolo ottenuto tramite le dette restrizioni, c'è un unico punto di intersezione con la funzione seno. Per disegnare il grafico della funzione inversa è necessario ruotare la funzione seno "ristretta", intorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante in modo da scambiare l'asse delle ascisse con quello delle ordinare. In figura è riportato il rettangolo, ottenuto con le restrizioni previste, in cui la funzione seno è in blu. La funzione inversa, in rosso, ottenuta dalla detta rotazione della funzione seno, è la funzione arcoseno.


La funzione seno con le dette restrizioni: f: [-π/2,π/2] → [-1,1] è biettiva e quindi invertibile. Per disegnare il grafico della funzione inversa è necessario ruotare la funzione seno ristretta intorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante in modo da scambiare l'asse delle ascisse con quello delle ordinare. La funzione inversa è la funzione arcoseno.

E' importante notare che la funzione arcoseno ha per insieme immagine l'insieme [-π/2,π/2] per cui quando si la si usa per la risoluzione dei triangoli bisogna tener presente che non apprezza angoli ottusangoli. Oltre ad un eventuale angolo α, ottenuto tramite la funzione bisogna tener conto di un eventuale ulteriore angolo π-α, in quanto sen(α)=sen(π-α).

Grafici delle funzioni coseno e arcocoseno


In figura il grafico della funzione cosx l'unità di misura degli angoli è il radiante. L'insieme immagine della funzione coseno è l'intervallo compreso tra -1 e 1. E' una funzione periodica di periodo 2π. Si può dimostrare che il grafico della funzione coseno ha delle specifiche caratteristiche sempre nel caso in cui l'unità di misura sia il radiante e la scala 1:1. In particolare la tangente in π/2 alla funzione corrisponde alla retta y=-x. Per questo motivo nella rappresentazione della funzione si usa tale unità di misura. Se usassimo il grado il grafico della funzione coseno sarebbe sempre una sinusoide ma molto più "allungata" per eseguire una sinusoide completa sarebbero infatti necessarie 360 tacche sull'asse delle ascisse.


La funzione coseno non è nè iniettiva nè surittiva. Per renderla invertibile, quindi, sono necessarie delle opportune restrizioni. In particolare per renderla suriettiva si restringe il codominio all'insieme immagine ovvero l'intervallo tra -1 e 1, per renderla iniettiva si restringe il dominio agli angoli compresi tra 0 e π.

La funzione coseno con le dette restrizioni f:[0,π]→[-1,1] è biettiva e quindi invertibile. Per disegnare il grafico della funzione inversa è necessario ruotare la funzione coseno ristretta intorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante in modo da scambiare l'asse delle ascisse con quello delle ordinare. La funzione inversa è la funzione arcocoseno.


La funzione coseno con le dette restrizioni f:[0;,π]→[-1,1] è biettiva e quindi invertibile. Per disegnare il grafico della funzione inversa è necessario ruotare la funzione coseno "ristretta" intorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante in modo da scambiare l'asse delle ascisse con quello delle ordinare. La funzione inversa è la funzione arcocoseno.

Grafici delle funzioni tangente e arcotangente


In figura il grafico della funzione tanx l'unità di misura degli angoli è il radiante. L'insieme immagine della funzione tangente è R. E' una funzione periodica di periodo π.


La funzione tangente è suriettiva ma non iniettiva. Per renderla invertibile, quindi, sono necessarie delle opportune restrizioni. Per renderla anche iniettiva si restringe il dominio agli angoli compresi tra -π/2 e π/2

La funzione tangente con la detta restrizione f:[-π/2,π/2]→R è biettiva e quindi invertibile. Per disegnare il grafico della funzione inversa è necessario ruotare la funzione tangente "ristretta" intorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante in modo da scambiare l'asse delle ascisse con quello delle ordinare. La funzione inversa, in rosso, è la funzione arcotangente.


La funzione tangente con le dette restrizioni f:[-π/2,π/2]→R è biettiva e quindi invertibile. Per disegnare il grafico della funzione inversa è necessario ruotare la funzione tangente "ristretta" intorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante in modo da scambiare l'asse delle ascisse con quello delle ordinare. La funzione inversa è la funzione arcotangente.

Grafici delle funzioni cotangente e arcocotangente


In figura il grafico della funzione tanx l'unità di misura degli angoli è il radiante. L'insieme immagine della funzione tangente è R. E' una funzione periodica di periodo π.


La funzione cotangente è suriettiva ma non iniettiva. Per renderla invertibile, quindi, sono necessarie delle opportune restrizioni. Per renderla anche iniettiva si restringe il dominio agli angoli compresi tra 0 e π

La funzione cotangente con la detta restrizione f:[0,π]→R è biettiva e quindi invertibile. Per disegnare il grafico della funzione inversa è necessario ruotare la funzione cotangente "ristretta" intorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante in modo da scambiare l'asse delle ascisse con quello delle ordinare. La funzione inversa, in rosso, è la funzione arcocotangente.


La funzione cotangente con le dette restrizioni f:[0,π]→R è biettiva e quindi invertibile. Per disegnare il grafico della funzione inversa è necessario ruotare la funzione cotangente "ristretta" intorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante in modo da scambiare l'asse delle ascisse con quello delle ordinare. La funzione inversa è la funzione arcocotangente.