Algebra

Si chiama legge di composizione interna in un insieme A, un'applicazione di A×A→A, dove con A×A si intende il prodotto cartesiano di A per A. In altre parole una legge di composizione interna in un insieme A è una legge che associa ad ogni coppia ordinata di elementi di A un elemento di A stesso. Si dice che l'insieme A è dotato di struttura algebrica se in A sono definite una o più leggi di composizione.

Per esempio con A(+,*) si indicherà la struttura algebrica con elementi in A e le due leggi di composizione interne somma e prodotto. Con Z₈(⊕,⊗), si indicherà la struttura algebrica definita nell'insieme {0,1 2,3,4,5,6,7} e con le due operazioni di somma e prodotto in modulo 8.

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Proprietà delle leggi di composizione interne

proprietà associativa: ∀a,b,c∈A → (a∗b)∗c = a∗(b∗c)

proprietà commutativa: ∀a,b∈A → a∗b = b∗a

esistenza elemento neutro e: ∃e:∀a∈A → e∗a = a∗e = a. L' elemento neutro rispetto al prodotto è uno, rispetto alla somma lo zero

esistenza simmetrico: ∀a∈A, ∃a^s∈A: a∗a^s=a^s∗a=e. Il simmetrico rispetto alla somma si chiama opposto, rispetto al prodotto reciproco.

proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: ∀a,b,c∈A → a*(b+c)=(a*b)+(a*c), (b+c)*a=(b*a)+(c*a)

legge anullamento del prodotto: se a*b=0, a=0 V b=0

unicità dell'elemento neutro: se A possiede un elemento neutro, esso è unico. Supponiamo per assurdo che esistano due elementi neutri e ed e' distinti. Essendo e elemento neutro avremo: e*e' = e'*e = e' Inoltre se e' è elemento neutro avremo: e'*e = e*e' = e per cui dovrà essere e = e' Pertanto è impossibile che esistano due elementi neutri tra loro distinti

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Strutture algebriche

Monoide: è dotato da un'unica legge di composizione interna avente la proprietà associativa

Gruppo: è un monoide dotato di elemento neutro e simmetrico per ogni elemento

Gruppo commutativo: è un gruppo in cui la legge di composizione interna è commutativa

Anello: è dotato di due leggi di composizione interne, rispetto alla prima legge di composizione è un gruppo commutativo, la seconda legge è dotata di proprietà associativa, possiede elemento neutro, ed è distributiva rispetto alla prima

Corpo: è un anello che ha simmetrico per ogni elemento escluso l'elemento neutro della prima legge di composizione

Campo: corpo commutativo

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Relazione tra esistenza del reciproco e legge anullamento del prodotto

Dimostreremo che queste due proprietà sono collegate tra di loro ovvero se esiste reciproco per ogni elemento allora vale la legge di anullamento del prodotto. Le due leggi di composizione interne sono indicate come somma e prodotto con i rispettivi elementi neutri 0 e 1. Supponiamo che a*b=0 e che ci sia reciproco per ogni elemento, quindi se a≠0 allora esiste a' tale che a*a' = a'*a = 1, moltiplichiamo entrambi i membri dell'uguaglianza a*b=0 per a': a'*a*b=0*a' → 1*b=0 → b=0 Quindi, c'è una stretta relazione tra l'esistenza del reciproco e la legge di anullamento del prodotto.

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Cosa succede quando n è numero primo

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