Il problema di Fibonacci

Nel 1223 a Pisa, l'imperatore Federico II di Svevia, fu spettatore ad una singolare gara tra abachisti e algoritmisti, armati soltanto di carta, penna e pallottoliere. In quella gara si dimostrò che col metodo posizionale indiano, appreso dagli arabi, si poteva calcolare più velocemente di qualsiasi abaco. Il problema era il seguente: Quante coppie di conigli si ottengono in un anno, supponendo che ogni coppia dia alla luce un'altra coppia ogni mese e che le coppie siano in grado di riprodursi al secondo mese di vita? Fibonacci risolse il problema e vinse la gara. Nella tabella di sinistra troviamo la risposta al problema proposto. Nella prima colonna sono riportati i mesi dell'anno, nella seconda colonna il numero di coppie neonate, nella terza il numero di coppie produttive, nella quarta il numero totale di coppie mese per mese. Al primo mese abbiamo una sola coppia di conigli neonata, che non è produttiva, il totale delle coppie è uno.

Al secondo mese non c'è alcuna coppia neonata, però la coppia neonata del mese precedente è diventata fertile. Per i mesi successivi si osservi che: il numero di coppie neonate corrisponde con il numero di coppie produttive del mese precedente. Il numero di coppie produttive corrisponde con il numero totale di coppie del mese precedente. Il numero totale di coppie è la somma del numero di coppie neonate con il numero di coppie produttive dello stesso mese. Dalla osservazione dell'ultima colonna si può notare che il numero delle coppie di conigli è, per ogni mese, la somma del numero totale di coppie dei due mesi precedenti. La risposta al problema quindi, è che, dopo un anno, ci saranno quindi 144 coppie di conigli. La tabella può essere costruita con il foglio elettronico inserendo solo quattro formule. Il problema proposto però non rispecchia la realtà. Non è prevista infatti la morte dei conigli o che, ad un certo punto della loro vita, le coppie di conigli cessino di essere fertili, pur continuando a vivere, o che diventino produttive dopo un certo numero di mesi di vita.


mesineonateproduttivetotale
1101
2011
3112
4123
5235
6358
75813
881321
9132134
10213455
11345589
125589144
1389144233
mesimesi di vita compiutitotale
01234567
1 100000001
2 010000001
3 001000001
4 100100002
5 110010003
6 111001004
7 211100106
8 221110018
9 3221110010
10 5322111015
11 6532211121
12 8653221128

Nella tabella di destra si vuol visualizzare un affinamento del problema proposto a Fibonacci. Dall'analisi della prima riga, anche in questo problema si parte con una sola coppia neonata di conigli. Ogni singola coppia è in grado di riprodursi dal terzo mese, rimane fertile fino al quinto mese e muore alla fine del settimo mese. Nella prima colonna ci sono i mesi trascorsi, nella seconda il numero delle coppie neonate, nella terza le coppie che hanno compiuto un mese di vita, nella quarta le coppie che hanno compiuto due mesi di vita, nella quinta le coppie che hanno compiuto tre mesi di vita, nella sesta le coppie che hanno compiuto quattro mesi di vita, nella settima le coppie che hanno compiuto cinque mesi di vita, nella ottava le coppie che hanno compiuto sei mesi di vita, nella nona le coppie che hanno compiuto sette mesi di vita, nella decima colonna il numero totale di coppie in vita in quel periodo. Il numero delle coppie neonate che si trova nella seconda colonna, in particolare, è ottenuto sommando le coppie dalla quarta alla settima colonna del mese precedente.