Proprietà della serie di Fibonacci

La sequenza di Fibonacci è la più conosciuta, soprattutto per le sue caratteristiche, per le sue proprietà e per la sua semplicità. Ecco elencate alcune proprietà che ha questa sequenza.

Ogni numero é ottenuto facendo la somma dei due numeri che lo precedono: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 .

Il quadrato di ogni numero di Fibonacci differisce di uno dal prodotto dei due numeri di fianco ad esso. La differenza è, alternativamente, più o meno, via via che la serie continua. Il quadrato del 5° numero di Fibonacci è 25, che differisce di +1 dal prodotto del 4° e del 6° numero, che è 3*8=24. Il quadrato del 6° numero, 64, invece, differisce di -1 da 13*5=65.

Sommando i primi n numeri di Fibonacci ed aggiungendo 1, il risultato è sempre uguale al numero (n+2) di Fibonacci, ovvero al numero due volte dopo all'ultimo addizionato. Ad esempio, sommando i primi 5 numeri di Fibonacci si ottiene 12, che è uguale al 7 numero di Fibonacci (13) -1.

Se invece di sommare tutti i numeri se ne somma uno si ed uno no, il risultato è sempre uguale al numero successivo all'ultimo addizionato. Quindi sommando uno ogni due i primi 9 numeri si ottiene: 1+2+5+13+34 = 55 , il decimo numero.

Se si somma il quadrato dell'ennesimo numero con il quadrato del suo successivo si ottiene il 2n+1° numero della sequenza. Il quarto numero è 3, il quinto 5. La somma dei due quadrati è 3*3 + 5*5 = 9 + 25 = 34, ovvero il nono numero.

Ogni terzo numero di Fibonacci è divisibile per 2, ogni quarto numero è divisibile per 3, ogni quinto numero è divisibile per 5, ogni sesto per 8, e così via, essendo i divisori i numeri della sequenza di Fibonacci.

Per quattro numeri di Fibonacci consecutivi qualsiasi, chiamati A, B, C, D, è sempre valida la seguente relazione: C2 - B2 = A * D. Prendendo i numeri di Fibonacci dal quarto al settimo abbiamo: A=3, B=5, C=8, D=13. Come scritto nella formula, 64 - 25 = 3 * 13 = 39.

A parte il caso banale dello zero e dell'uno, l'unico numero di Fibonacci quadrato perfetto è il 12°, che è proprio 12*12=144. L'unico cubo è il 6° = 8.

La serie di Fibonacci si può ricavare dal triangolo di Tartaglia sommando i numeri delle diagonali come evidenziate nella figura: così dalla prima riga otteniamo 1, dalla seconda ancora 1, poi 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...