Calcolo combinatorio

Calcolare in quanti modi diversi si possono disporre 5 studenti in 8 banchi.

Il primo studente può scegliere 8 banchi, il secondo 7, e così via ... l'ultimo studente rimasto troverà solamente 4 banchi liberi. Si tratta quindi di disposizioni semplici ed il numero cercato è: 8*7*6*5*4=6720

Calcolare in quanti modi diversi si possono sedere 5 studenti in 5 banchi.

Il primo studente può scegliere 5 banchi, il secondo 4, e così via ... l'ultimo studente rimasto troverà solamente un banco libero. Si tratta quindi di permutazioni ed il numero cercato è: 5*4*3*2*1 = 5! = 120.

Esercizio 1

Lanciamo 4 dadi. Calcolare quanti eventi elementari possono verificarsi.

L'uscita del primo dado potrà essere da 1 a 6, l'uscita del secondo pure, l'uscita del terzo pure, l'uscita del quarto pure. Si tratta di disposizioni con ripetizione ed il numero cercato è: 6*6*6*6=64=1296


Esercizio 2

Lanciamo 6 monete. Calcolare quanti eventi elementari possono verificarsi.

L'uscita della prima moneta potrà essere o testa o croce, l'uscita della seconda pure, l'uscita della terza pure, l'uscita della quarta pure, l'uscita della quinta pure, l'uscita della sesta pure. Si tratta di disposizioni con ripetizione ed il numero cercato è: 2*2*2*2*2*2=26=64

Calcolare quante sono le diagonali di un poligono.

Prendiamo in considerazione i vertici del poligono e calcoliamo i sottoinsiemi di due elementi. Il loro numero è n(n-1)/2 e tale numero corrisponde al numero di segmenti che hanno per estremi i vertici del poligono. In questo modo ho conteggiato la somma delle diagonali con i lati del poligono; per conteggiare solamente il numero delle diagonalli a questo numero devo togliere i lati che sono n per cui il numero cercato è (n(n-2)/2)-n ovvero n(n-3)/2

Calcolare quanti sono gli anagrammi anche privi di significato che si possono comporre con la parola "caso".

Possiamo pensare che si devono disporre 4 lettere in quattro posti. Sarebbe come disporre 4 studenti in 4 banchi. Si tratta quindi di permutazioni ed il numero cercato è: 4*3*2*1 = 4! = 24. Volendo invece calcolare quanti sono gli anagrammi anche privi di significato che si possono comporre con la parola "casa", osserviamo che ci sono due lettere uguali, cioè due "a". Possiamo quindi pensare che si devono disporre 4 lettere in quattro posti però scambiando le due "a" la parola rimane la stessa, pertanto il numero cercato non è: 4! ma 4!/2 = 12. Se la parola poi contiene anche triple o doppie lettere come "corriere" che ha 2 "e" e 3 "r" ed in totale ha 8 lettere, allora il numero degli anagrammi è: 8!/(3!*2!) ovvero 3360.

esercizi

  1. Quanti sono gli anagrammi anche privi di significato che si possono costruire con la parola: parallelismo?

  2. In quanti modi posso disporre 7 studenti in 12 banchi?

  3. Quante applicazioni posso costruire avendo 4 elementi nel dominio e 7 nel codominio?

  4. In quanti modi posso disporre tre oggetti in otto cassetti, tenendo presente che i tre oggetti possono stare tutti anche in un unico cassetto?

  5. In quanti modi posso disporre tre oggetti in otto cassetti, tenendo presente che ciascuno dei cassetti può contenere al massimo un solo oggetto?

  6. In una classe di 16 studenti, posto che ognuno dei componenti la classe voglia fare il rappresentante, in quanti modi diversi possono essere scelti i due rappresentanti?

  7. Dieci persone si salutano stringendosi vicendevolmente la mano, quante strette di mano si saranno date in totale?

  8. Quante sono le diagonali di un ottagono?

  9. Quante applicazioni iniettive posso costruire avendo 5 elementi nel dominio e 10 nel codominio?

  10. Sviluppare (x+y)8

  11. Sviluppare (a+b)7

  12. Lanciando tre dadi in quanti modi può uscire il 9?


Calcolo delle probabilità

Esercizio 1

Da un mazzo di carte da briscola ne estraggo 4. L'evento E sia escano 2 coppie. Calcolare la probabilità dell'evento E. I casi favorevoli sono C(10,2) in quanto in un insieme di 10 carte diverse devo scegliere i sottoinsiemi di 2, questo numero va poi moltiplicato per C(4,2) = 6 e ancora per 6 in quanto, se per esempio ho scelto gli assi e i fanti devo individuare quante coppie posso formare con i quattro assi e poi con i quattro fanti. I casi favorevoli sono quindi 45*6*6. I casi possibili sono C(40,4). La probabilità è data dunque dal numero dei casi favorevoli 1620 su 91390 che sono i casi possibili. Dunque P(E)=0,0177


Esercizio 2

Da un mazzo di carte da briscola ne estraggo 4. L'evento E sia esca un tris ed un'altra carta. Calcolare la probabilità dell'evento E. Conteggio i casi favorevoli: il tris lo posso scegliere in 10 modi e questo numero va moltiplicato per C(4,3) = 4 e ancora la quarta carta la posso scegliere in 9 modi e questo numero va moltiplicato per C(4,3) = 4. I casi favorevoli sono quindi 10*9*4*4. I casi possibili sono C(40,4). La probabilità è data dunque dal numero dei casi favorevoli 1440 su 91390 che sono i casi possibili. Dunque P(E)=0,0157

Lanciamo 4 dadi. L'evento E sia esca un numero minore o uguale di 6. Calcolare la probabilità dell'evento E. I casi favorevoli sono dunque 1111, 2111, 1211, 1121, 1112, 3111, 1311, 1131, 1113, 1122, 1212, 1221, 2112, 2121, 2211. In totale 15, i casi possibili sono: 6*6*6*6=64=1296. La probabilità dell'evento E è data da P(E)= 0,01157

Lanciamo 5 monete. L'evento E sia: escano due teste e tre croci.

I casi favorevoli vanno ricercati nella quinta riga e terza diagonale del triangolo di Tartaglia Psascal ovvero il numero C(5,3)=10. I casi possibili sono: 2*2*2*2*2=25=64. La probabilità è quindi data da 10/32, dunque P(E)=0,3125.

esercizi

Da un mazzo di 40 carte da briscola ne estraggo 3, calcolare la probabilità che:

  1. ci siano tre carte di seme diverso
    [0,404]

  2. ci sia una coppia
    [0,218]

  3. esca un tris
    [0,004]

  4. siano tre bastoni
    [0,012]

  5. siano tre figure
    [0,022]

  6. siano tre assi
    [0,0004]

  7. siano due bastoni e un danari
    [0,045]

  8. siano due carte di un seme e una di un altro seme
    [0,54]

  9. siano tre carte dello stesso seme
    [0,048]

  10. siano tre carte di semi diversi
    [0,4]


  11. Da un mazzo di 40 carte da briscola ne estraggo 4, calcolare la probabilità che:

  12. escano due 7
    [0,041]

  13. ci sia un tris
    [0,015]

  14. ci sia un asso
    [0,321]

  15. ci siano tre spade
    [0,039]

  16. ci siano due re e due fanti
    [0,0003]

  17. siano quattro coppe
    [0,00229]

  18. siano quattro carte di quattro semi diversi
    [0,109]

  19. siano tre fanti e un re
    [0,00017]

  20. siano quattro assi
    [0,0000109]

  21. ci sia un tris
    [0,0158]

  22. siano due bastoni e due danari
    [0,022]

  23. siano due carte di un seme e due di un altro seme
    [0,13]

  24. siano tre carte di un seme e una di un altro seme
    [0,157]

  25. siano tre sei e un'altra carta che non sia un sei
    [0,00157]


  26. Da un mazzo di 40 carte da briscola ne estraggo 5, calcolare la probabilità che:

  27. siano quattro coppe e un'altra carta che non sia una coppa
    [0,0095]

  28. siano tre fanti e due assi
    [0,0000364]

  29. siano quattro assi
    [0,000054]

  30. siano due bastoni, due danari e una spada

  31. siano quattro assi e un tre
    [0,03]

  32. siano cinque danari
    [0,00038]

  33. siano cinque carte dello stesso seme
    [0,00153]


  34. Lancio otto monete, calcolare la probabilità che:

  35. escano quattro teste e quattro croci
    [0,27]

  36. escano tre teste e cinque croci
    [0,21]

  37. escano una testa e sette croci
    [0,031]

  38. siano almeno sei teste
    [37/256]


  39. Lancio quattro dadi, calcolare la probabilità che:

  40. esca sette

  41. esca 24

  42. esca 6

  43. esca un valore strettamente minore di 6


  44. In un'urna ci sono 20 palline colorate, 10 sono bianche, 6 nere e 4 rosse, ne estraggo 5, calcolare la probabilità che siano:

  45. quattro rosse e una di un altro colore
    [0,001]

  46. quattro rosse e una bianca
    [0,0006]

  47. due rosse una bianca e due nere
    [0,0058]

  48. due rosse e almeno una bianca
    [0,4]


  49. In un'urna ci sono 10 palline numerate, dall'uno al dieci, ne estraggo 2, calcolare la probabilità che siano:

  50. entrambe di numero pari
    [10/45]

  51. la loro somma sia dispari
    [25/45]

  52. una delle due sia la pallina 7
    [9/45]

  53. la loro somma sia strettamente minore di otto
    [9/45]