Continuità
I termini "continuo" e "continuità" sono usati nel linguaggio comune per indicare una linea che viene disegnata con un pennino su un foglio di carta, senza sollevare il pennino dal foglio. È quello che avviene spesso in molti fenomeni naturali come, per esempio, la crescita di un essere vivente. La crescita avviene in modo continuo e l'essere vivente raggiunge una certa statura, passando per tutte le stature intermedie, senza salti. Un fenomeno fisico che invece viene rappresentato con una linea non continua è quello del volume dell'acqua in funzione della temperatura. Il grafico ha un andamento continuo nel tratto in cui la temperatura è negativa, in cui l'acqua si presenta sotto forma di ghiaccio ed anche nel tratto in cui la temperatura è positiva in cui l'acqua è allo stato liquido. Nel punto 0° c'è un salto, infatti è il punto di passaggio dallo stato solido allo stato liquido. Com'è noto, il ghiaccio, trasformandosi in acqua, occupa minor volume. La funzione non è continua, per disegnarla, infatti, bisogna sollevare il pennino dal foglio.
Definizione di continuità in un punto (continuità locale)
Una funzione f definita in A (A ⊂ R) si dice continua (localmente) in un punto x0 (x0 ∈ A) se: per ogni intorno U di f(x0), esiste un intorno V di x0 tale che, per ogni punto x di V (appartenente ad A) ne consegue che f(x) appartenente ad U
In simboli: ∀ U(f(x0)), ∃ V(x0):∀ x ∈ V(x0), (x∈A) ⇒ f(x) ∈U(f(x0))
Definizione di continuità in un insieme (continuità globale)
Una funzione si dice (globalmente) continua in un insieme A se la definizione di continuità locale e' verificata per ogni elemento dell'insieme A.
Dalla definizione ne consegue, in particolare, che se x0 è punto isolato di A, ogni f definita in A è da considerarsi continua in x0.
Una funzione continua definita su un intervallo "ha l'aspetto" di una linea. La funzione f(x)=x, in cui il dominio sia A = {0,1,2,3,4,5,6}, è una funzione formata da sette punti, si tratta comunque di una funzione continua anche se non ha l'aspetto di una linea e questo appunto perchè il dominio è costituito da un insieme di punti isolati e quindi la definizione di continuità locale è rispettata.
In figura compare la funzione f(x)=ax/lxl, se a è diverso da zero fa un "salto" nell'origine del sistema di riferimento, ma è comunque continua perché è definita in R-{0}. Si noti quindi che l'ipotesi che la f sia definita in un intervallo è essenziale perchè la funzione continua abbia l'aspetto di una linea continua.
Definizione: sia f definita su A, e sia x0 punto di accumulazione per A; si dice che la f è continua a sinistra di x0 se è continua ogni sua restrizione all'insieme A = {x: x ∈ A, x ≤ x0}.
Analogamente la definizione di continuità a destra. È chiaro che se una funzione è continua in x0, è continua sia a sinistra che a destra di x0.
Definizione: si chiamano massimo M e minimo m, di una funzione su un intervallo V, rispettivamente il più grande e il più piccolo dei valori assunti dalla funzione in V.
Teorema di Weierstrass (enunciato)
Una funzione continua definita in un intervallo chiuso e limitato [a,b] è dotata di massimo e minimo. Il teorema dice che, se una funzione è continua in un chiuso [a,b], allora il suo insieme immagine è limitato ovvero esistono due punti x1, x2 ⋲ [a,b]: f(x1)= M, f(x2) = m
Teorema di connessione o di Bolzano (enunciato)
Una funzione continua definita in un intervallo chiuso e limitato [a,b], se assume due valori distinti y1, y2, assume necessariamente ogni valore y intermedio.
Teorema degli zeri (enunciato)
Una funzione continua definita in un intervallo chiuso e limitato [a,b], se assume in due punti x1, x2 dell'intervallo, valori di segno opposto, allora ∃ almeno un punto x compreso tra x1 e x2: f(x)=0.