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Laboratorio

Lezioni di matematica on line

Grafici a tratti

Classi

terze

Durata

6 ore

Scopo

Realizzare un'applicazione con il foglio elettronico che permetta di descrivere una funzione e di ottenere il suo grafico in un intervallo dell'asse X.

Prerequisiti

Indirizzamenti assoluti e relativi, uso dei grafici a dispersione.

Introduzione

Questa esercitazione è la base per moltissime altre che prevedono l'utilizzo di grafici per svariati scopi; è importante quindi capire chiaramente i vari passaggi che portano alla realizzazione della procedura perché la stessa ricorrerà spesso in altre situazioni.

La nostra funzione può essere definita attraverso i suoi coefficienti; la procedura vale per funzioni di qualsiasi grado ma il grado massimo deve essere definito al momento della creazione del foglio.

Se definiamo come 2 il grado massimo della nostra funzione, la stessa si presenterà così:

f(x) = ax2 + bx + c

dove a, b e c sono chiamati coefficienti e sono rappresentati da numero reali a caratterizzare la specifica funzione; naturalmente, azzerando il coefficiente a si può ottenere una funzione di grado inferiore; quindi la costruzione definisce il grado massimo della funzione mentre quello minimo è 1.

Ma come si passa dalla definizione della funzione al suo grafico ? è necessario individuare una serie di punti in coordinate X e Y che appartengono alla funzione un po' come si fa su un foglio di carta millimetrata con la calcolatrice.

Quanti punti ? dipendono dalla complessità della funzione, ma poichè non saremo noi a dover fare i calcoli è opportuno definire un numero elevato di punti (per esempio 1000) che comunque andrà definito nella fase di costruzione del foglio. In generale, maggiore è il numero di punti maggiore sarà la definizione grafica della funzione.

Un altro aspetto da tenere in considerazione è che il grafico della funzione si applica all'asse X che è infinito; naturalmente sul foglio elettronico dobbiamo definire dei valori di intervallo finito, da X1 a Xn , nel quale rappresentare il grafico; questi valori dovranno essere variabili perchè non possiamo sapere a priori in quale porzione dell'asse X osservare il nostro grafico in modo da avere un risultato "interessante".

Dalla teoria alla pratica

Utilizzando il foglio elettronico per questo esercizio, un aspetto da non trascurare è la scrittura della funzione; l'equazione deve essere descritta attraverso i coefficienti a,b e c ma la loro presentazione può rendere semplice o complicata l'interpretazione della funzione stessa da parte dell'utilizzatore che, rammentiamolo, spesso non è colui che ha scritto il foglio elettronico.

Una soluzione semplice ed efficace per inserire e proporre la funzione può essere quella indicata di seguito:

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Come si può notare le celle con sfondo grigio sono quelle dove vanno inseriti i coefficienti che permettono di descrivere una qualsiasi funzione (nell'esempio riportato in figura il grado massimo è 2); nel contempo la funzione è perfettamente riconoscibile come tale.

Inoltre è stato definito il numero di punti (valore n=1000) e l'intervallo dell'asse X nel quale rappresentare la funzione (valore iniziale X1 =-2; valore finale Xn =+2);

Ora non ci resta che definire i 1000 punti sull'asse X dai quali ricavare le corrispondenti coordinate Y. Ma come procedere per definire i punti ?

il modo più semplice è individuare i punti uniformemente distribuiti lungo il segmento compreso fra le coordinate X1 ed Xn sull'asse X. Ma qual è la distanza costante fra questi punti ?

Ci può aiutare una semplice osservazione. Se consideriamo un segmento S su cui vogliamo individuare 3 punti equidistanti otterremo una distribuzione dei punti come in figura

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la distanza fra i punti, in questo caso, è pari alla metà della lunghezza del segmento:

distanza fra i 3 punti = lunghezza S / 2

nel caso volessimo ottenere 4 punti sullo stesso segmento, avremmo la situazione come da figura seguente

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la distanza fra i punti, in questo caso, è pari ad un terzo della lunghezza del segmento:

distanza fra 4 punti = lunghezza S / 3

in generale se vogliamo individuare la distanza fra n punti equidistanti su un segmento la formula sarà:

distanza fra n punti = lunghezza S / (n -1) applicando questa formula al nostro foglio, l'intervallo fra i nostri punti sull'asse X sarà:

lunghezza del segmento / (n - 1)

nello specifico, dato che la lunghezza di un segmento sull'asse X è pari alla differenza fra le coordinate X, otterremo:

intervallo fra i punti = (Xn - X1 )/(n-1)

Come applicare questa osservazione al nostro sistema ?

La prima coordinata X è pari al valore di X1

La seconda coordinata X sarà pari al valore della coordinata X1 + l'intervallo trovato in precedenza

La terza coordinata X sarà pari al valore della coordinata X2 + l'intervallo

La quarta coordinata X sarà pari al valore della coordinata X3 + l'intervallo

E così via.

Quindi il valore successivo della coordinata X si troverà a partire dal valore precedente incrementato dell'intervallo. Se la formula "base" verrà impostata correttamente, utilizzando in modo opportuno indirizzamenti assoluti e relativi, sarà sufficiente copiarla per 999 righe fino ad arrivare al 1000-simo valore delle X; per capire se l'operazione è stata svolta correttamente, l'ultimo valore dovrà assumere un valore pari a quello impostato per Xn.


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Il calcolo dei valori della Y è piuttosto semplice, essendo noti i coefficienti che descrivono la funzione ed i valori della X corrispondenti. Anche in questo caso, usando opportunamente indirizzamenti assoluti e relativi e costruendo correttamente la formula base, sarà sufficiente "trascinarla" sulle righe sottostanti per 999 volte.


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Ora abbiamo una sequenza di coordinate di punti sul piano cartesiano che appartengono alla funzione definita. Selezionando tutti i valori della X ed i valori della Y possiamo procedere all'autocomposizione del grafico: è molto importante utilizzare, come tipo di grafico, la "dispersione XY" che mette in relazione i valori X con i valori Y; utilizzando altri tipi di grafici si potrà ottenere forse un risultato simile ma l'asse delle X apparirà scorretto perché enumererà i punti a 1 a 1000 anzichè assumere i valori previsti per la X. Anche la scelta del tratto per il grafico è molto importante è dovrà orientarsi verso le linee smussate e senza punti.



Otterremo quindi un grafico dinamico simile a questo:


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Dinamico perché sarà sufficiente variare l'intervallo X1 -Xn e/o i coefficienti che definiscono la funzione, per ottenere istantaneamente e senza interventi ulteriori, un nuovo grafico:


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