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Logica matematica

I cinque postulati di Euclide


A1. Per due punti distinti passa una e una sola retta.

A2. La retta è un insieme ordinato di punti.

A3. Per un punto passano infinite rette.

A4. Tutte le rette sono uguali.

A5. Se P è un punto non appartenente ad una retta r, allora esiste ed è unica la retta s passante per P e non avente punti in comune con la retta data r.

Euclide, a coloro che si accingono a studiare la sua geometria, chiede di assumere come veri cinque postulati, l'ultimo dei quali è un postulato di esistenza e unicità, tutt'altro che intuitivo poichè riguarda il concetto di parallelismo tra due rette. Euclide stesso, nelle sue dimostrazioni cercava di evitarlo il più possibile. Molti nel passato, tentarono di dimostrare la dipendenza del quinto postulato dai primi quattro, i loro sforzi però non risultarono inutili in quanto servirono ad aprire la strada alle geometrie non Euclidee.

Si definiscono geometrie "non Euclidee" quelle geometrieche, non accettando il quinto postulato, lo negano, proponendo in alternativa altri postulati.

Se si nega il V° postulato, in relazione all'esistenza si afferma che V°1: "Non esiste alcuna retta s passante per un punto P e parallela ad una prefissata retta r. In altre parole "ogni retta passante per P incontra sempre la prefissata retta r".

Se invece si nega il V° postulato in relazione all'unicità si afferma che V°2: "Esistono almeno due rette s', s'' passanti per il punto P e parallela alla prefissata retta r.

Un modello di geometria euclidea è fornito dagli enti primitivi che sono descritti nelle scuole inferiori ossia:

- il piano viene descritto come un ente geometrico simile ad un sottile foglio da disegno da pensare illimitato come estensione in tutte le direzioni e senza spessore.

- il punto, elemento del piano, viene descritto come un ente geometrico simile ad una minuscola macchia sul foglio da disegno, da essere così piccola da ridursi ad essere "senza parti" come diceva Euclide stesso.

- la retta, sottoinsieme del piano, viene descritta come un ente geometrico simile ad un sottilissimo segno tracciato con il righello sul foglio da disegno da rendere illimitata , nel senso della lunghezza e "senza parti", nel senso della larghezza. Gli enti primitivi, così descritti, costituiscono un modello di geometria euclidea, poichè soddisfano a tutti i postulati, compreso il quinto.


La geometria non euclidea di Riemann


La geometria di Riemann, si basa su cinque postulati i primi quattro sono gli stessi della geometria euclidea il quinto è sostituito dal V°1: "Non esiste alcuna retta s passante per un punto P e parallela ad una prefissata retta r. In altre parole "ogni retta passante per P incontra sempre la prefissata retta r".

Vediamo ora quale modello fornì Riemann per dimostrare che la sua geometria non è contradditoria.

- il piano di Riemann è costituito da una qualunque superficie sferica.

- il punto di Riemann è costituito da un punto sulla superficie sferica.

- la retta di Riemann è costituito da una qualunque circonferenza massima.

Si potrebbe verificare che questi enti primitivi soddisfano ai primi quattro i postulati descritti da Euclide e al V°1.

Ad esempio il postulato "Per due punti del piano passa una e una sola retta", è soddisfatto? La risposta è si, perchè fissati due punti sulla sfera, è unica la retta di Riemann, ossia la circonferenza massima passante per i due punti.

Ad esempio il postulato "Per un punto del piano passano infinite rette" è soddisfatto? La risposta è si, perchè fissato un punto di Riemann ovvero un punto sulla sfera, allora per esso passano infinite rette di Riemann ovvero infinite circonferenze massime.

Ma ora esaminiamo se è soddisfatto il postulato V°1. E' soddisfatto perchè dati un punto e una retta di Riemann, ossia un punto sulla sfera e una circonferenza massima sulla sfera, ogni circonferenza massima che passa per il punto, interseca la circonferenza data. In conclusione non esiste alcuna retta di Riemann passante per un punto di Riemann e parallela a una prefissata retta di Riemann. Il modello proposto funziona e quindi la geometria di Riemann è "non contradditoria" e pertanto valida.


La geometria non euclidea di Lobačevskij


Questa geometria cancella il quinto postulato e pone al suo posto il postulato V°2 "Esistono almeno due rette s', s'' passanti per il punto P e parallela alla prefissata retta r", essa sarà non contradditoria se è possibile individuare un modello che soddisfi ai normali postulati scritti da Euclide più il postulato V°2. Il modello esiste e fu ideato da Klain. Come enti primitivi si hanno:

- Il piano di Klein costituito dalla superficie interna ad un qualunque cerchio.

- La retta di Klein costituita da una qualunque corda della circonferenza.

- Il punto di Klein costituito da un qualsiasi punto interno al cerchio.

Definizione: due rette di Klein sono incidenti se si intersecano in un punto di Klein.

Definizione: due rette di Klein sono parallele se non hanno alcun punto di Klein in comune, ma si incontrano su un punto localizzato sulla circonferenza.

Si può verificare che questi enti soddisfano ai primi quattro postulati di Euclide, mentre verificheremo se questo modello soddisfa al postulato V°2. Il postulato V°2 è verificato perchè fissato un punto P di Klein, si possono trovare due rette di Klein s', s'', passanti per P e parallele alla r. Ossia esistono due rette passanti per P e non aventi punti di Klein in comune con r che si definiscono quindi parallele.

Tutto questo ci consente di dire che la geometria di Lobačevskij è non contradditoria e pertanto valida. Per molti secoli si è ritenuto che la geometria di Euclide fosse l'unica adatta a descrivere il mondo che ci circonda, su di essa Galileo e Newton fondarono la fisica classica. Bisogna giungere ai primi del 1900 con la fisica relativisticae quantistica di Einstein, la fisica delle particelle che si muovono a velocità vicine a quella della luce (300000 Km/sec) per vedere notevoli applicazioni delle geometrie non euclidee e, in particolare la geometria di Riemann. In conclusione le tre geometrie di Euclide, Riemann e Lobačevskij, hanno ciascuna una loro validità e possibilità di applicazione in situazioni concrete del campo scientifico sia tecnico che tecnologico.