La funzione logaritmica è l'inversa della funzione esponenziale. La funzione esponenziale è invertibile se si restringe il codominio a R+. La funzione logaritmo, quindi ha per dominio R+. Non ha senso quindi, calcolare il valore di un logaritmo che ha per argomento un numero negativo.
Definizione: dato un numero positivo a, che chiameremo argomento e un numero b che chiameremo base, il logaritmo in base b di a, è l'esponente che bisogna assegnare alla base per ottenere l'argomento.
Dalla definizione ne consegue quindi che logba=x se e solo se bx=a. Si studiano due casi di funzioni logaritmiche, a seconda che la base assuma un valore compreso tra zero e uno oppure un valore maggiore di uno.
Dimostrazione della prima proprietà
Il logaritmo di uno, in una qualsiasi base, è uguale a zero poichè a0=1.
Dimostrazione della seconda proprietà
si ponga:
In tal modo per definizione avremo:
Da cui per le proprietà delle potenze e per definizione di logaritmo:
Dimostrazione della terza proprietà
si ponga:
In tal modo per definizione si ha:
Da cui per le proprietà delle potenze e per definizione di logaritmo:
Dimostrazione della quarta proprietà
si ponga:
in tal modo si ha:
elevando entrambi i membri alla n si ha:
Da cui:
Dimostrazione della quinta proprietà
si ponga:
In tal modo per definizione avremo:
Applicando ad entrambi i termini dell'uguaglianza il logaritmo in base b si ottiene ancora un'uguaglianza:
Per la quarta proprietà l'esponente h diventa un fattore per cui si ottiene:
Ricavando h come fosse l'incognita di un'equazione si ottiene:
Dato che h è uguale a logaritmo in base a di x, sostituendo si ottiene:
Questa proprietà può essere utile per un cambiamento di base nel calcolo del logaritmo.
Un'equazione è da considerarsi logaritmica se presenta almeno un logaritmo che abbia l'incognita nel proprio argomento.
Consideriamo equazioni logaritmiche che possano essere scritte nella seguente forma:
Per la risoluzione di un'equazione logaritmica si procederà per gradi:
Se l'equazione proposta non è del tipo previsto tentare, qualora fosse possibile di trasformarla applicando le proprietà del logaritmo.
Determinare il campo di esistenza delle soluzioni risolvendo il sistema comprendente la disequazioni f(x)>0, g(x)>0 in quanto l'argomento del logaritmo dev'essere strettamente maggiore dello zero.
Cercare le soluzioni dell'equazione f(x)=g(x) dove con f(x) e g(x) indichiamo due funzioni della variabile x.
Si può anche, senza calcolare il campo di esistenza delle soluzioni, risolvere l'equazione f(x)=g(x) e quindi verificare che le stesse rendano l'argomento del logaritmo maggiore di zero. Un valore, soluzione dell'equazione f(x)=g(x) che non soddisfi a questa condizione non può essere acettato come soluzione dell'equazione logaritmica