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Analisi matematica

Topologia

Nel seguito considereremo insiemi i cui elementi sono numeri reali. Insiemi di particolare importanza sono gli intervalli che si definiscono nel modo seguente: se a e b sono due numeri reali con a < b, l'insieme di tutti i numeri reali compresi fra a e b si chiama intervallo. Il numero a si chiama estremo inferiore, il numero b si chiamano estremo superiore dell'intervallo. Tenendo presente che esiste una corrispondenza biettiva tra numeri reali e punti della retta queste due nozioni si potranno tranquillamente confondere e quindi un intervallo (insieme di numeri reali) è riconducibile ad un segmento (insieme di punti) sulla retta R. Questa corrispondenza biunivoca permette di dare un significato geometrico a tutte le nozioni introdotte per gli insiemi di numeri reali. L'ampiezza dell'intervallo si determina facendo la differenza b-a che è in pratica la misura del segmento. Il numero (a+b)/2 è il centro dell'intervallo, il numero (b-a)/2 è il raggio dell'intervallo. Se gli estremi dell'intervallo appartengono all'intervallo stesso allora l'intervallo si dice chiuso e si indica con il simbolo [a,b], se a, b non appartengono all'intervallo allora l'intervallo stesso si dice aperto e si indica con ]a,b[.

Un intervallo può anche essre aperto a sinistra e si indicherà ]a,b] oppure aperto a destra [a,b[. Gli intervalli possono essere illimitati e si definiscono nel modo seguente: sia a un qualunque punto della retta, si chiama intervallo illimitato l'insieme di tutti i numeri reali non minori di a e si indica [a,+∞[ (a si chiamerà estremo inferiore). Analogamente, l'insieme di tutti i numeri reali non maggiori di a si indicherà con ]-∞,a], (in questo caso a si chiamerà estremo superiore). Gli intervalli illimitati, così definiti, corrispondono alle semirette in R.

Definizione: si dice intorno di un punto x, ogni intervallo aperto che contiene x.

Definizione: si dice intorno centrato di un punto x, ogni intervallo aperto che ha il punto x come centro.

Definizione:si dice intorno destro di un punto x, ogni intervallo aperto a destra che abbia x come estremo inferiore.

Ad esempio l'intervallo [4,9[ è un intorno destro del punto (o del numero) 4. Analogamente si definisce l'intorno sinistro di un punto x.

Definizione: si dice intorno di infinito ogni insieme di punti che soddisfano ad una condizione del tipo ׀x׀>k, dove k è un numero reale.

Definizione: si dice intorno di +infinito ogni insieme di punti che soddisfano ad una condizione del tipo x>k dove k è un numero reale.

Analogamente si definisce l'intorno di -infinito.

Punti di accumulazione

Definizione: sia V un insieme di punti sulla retta, si dice che P è punto di accumulazione rispetto all'insieme V se, in ogni intorno di P cadono infiniti punti di V.

Esempio 1: consideriamo come insieme V l'aperto ]3,7[ ogni punto dell'intervallo stesso compresi gli estremi 3 e 7 sono punti di accumulazione per l'insieme V .

Esempio 2: consideriamo l'insieme V:{x ∈R: x=1/n, n∈N(insieme dei numeri naturali}. Si noti che V non è un intervallo ma un insieme di punti isolati. (un punto di un certo insieme V si dice isolato se esiste un intorno del punto stesso in cui non cade alcun punto dell'insieme V). Verifichiamo che lo zero è punto di accumulazione per l'insieme V. A questo scopo si osservi che ∀ ε > 0, nell'intervallo [0,ε[, cadono infiniti punti di V ovvero tutti gli n che soddisfano alla condizione n>1/ ε e quindi in ogni intorno destro dello zero cadono infiniti punti di V.