Ipotesi: siano f, g funzioni derivabili
Tesi: la funzione somma f+g è derivabile e si ha: (f+g)'=f'+g'
Dimostrazione: la funzione somma (f+g)(x) è, per definizione, uguale a f(x)+g(x), quindi il rapporto incrementale della g+f è dato da:
che per definizione può essere scritta anche così:
o anche così:
Per ottenere la derivata bisogna passare al limite per h tendente a zero ovvero ci si dovrà ricondurre al limite di una somma che è uguale alla somma dei limiti ovvero:
Tenendo conto che il limite del rapporto incrementale della f è f' e che il limite del rapporto incrementale della g è g'otterremo proprio la tesi.
Ipotesi: siano f, g funzioni derivabili
Tesi: la funzione prodotto f*g è derivabile e si ha: (f*g)'=f'*g+f*g'
Dimostrazione: la funzione prodotto (f*g)(x) è, per definizione, uguale a f(x)*g(x), quindi il limite del rapporto incrementale per h tendente a zero della f*g è dato da:
che per definizione è uguale a:
aggiungendo e togliendo dal numeratore il termine: f(x+h)*g(x) otteniamo l'espressione equivalente:
applicando i teoremi sui limiti questa espressione può essere scritta anche così:
e quindi cosi'
dove, con R(f), R(g) si intendono i rapporti incrementali delle funzioni f e g. Tenendo conto che il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti, che g(x) e f(x) non dipendono dal tipi di incremento, otterremo proprio la tesi.
Ipotesi: sia k una costante, sia f(x) una funzione derivabile
Tesi: la derivata di kf(x) = kf'(x)
Dimostrazione: applichiamo la formula della derivata di un prodotto: (kf(x))' = k'f(x) + kf'(x), la derivata di una costante k è però uguale a zero e quindi (kf(x))' = kf'(x) c.v.d.
Ipotesi: n sia un numero naturale
Tesi: La derivata di xn è uguale a nxn-1
Proviamo a derivare la funzione x2. Dovremo fare il limite per h tendente a zero del rapporto incrementale della funzione in oggetto. Il rapporto incrementale è:
sviluppando otteniamo:
semplificando e raccogliendo il fattore h otteniamo il rapporto incrementale:
infine semplifichiamo il fattore h e passiamo al limite:
Proviamo ora a derivare la funzione x3. Analogamente al caso precedentemente trattato, dovremmo fare il limite per h tendente a zero del rapporto incrementale della funzione in oggetto. Il rapporto incrementale è:
sviluppando otteniamo:
semplificando e raccogliendo il fattore h otteniamo il rapporto incrementale:
infine semplifichiamo il fattore h e passiamo al limite:
Riassumendo la derivata di x2 è 2x, la derivata di x3 è 3x2. Possiamo quindi prevedere che la derivata di xn sia uguale a nxn-1. c.v.d.
Dimostrazione: Per dimostrare questo teorema si applicherà il principio di induzione. Il principio consiste nel fatto che, se una proprietà è vera per n=1, supposto sia vera per n-1, se si dimostra che è vera anche per n allora è vera per ogni n appartenente ad N.
Gia' abbiamo verificato che il teorema vale per n=2, n=3, verifichiamo che il teorema vale anche per n=1:
Il rapporto incrementale della funzione y = x è:
facendo il limite per h tendente a zero troviamo che tale limite è uguale a 1. Quindi si è dimostrato che la derivata della funzione x è 1 e quindi che il teorema è verificato per n=1. Supponiamo ora che la proposizione sia vera per n-1 ovvero (xn-1)'=(n-1)xn-2 e dimostriamo che è vera per n. Per derivare xn possiamo pensare che xn = xn-1 x, quindi per derivare xn applichiamo la formula della derivata di un prodotto:
(xn)' = (xn-1x)' = (xn-1)'x + xn-1(x)' = (n-1)xn-2x + xn-11 = (n-1)xn-1 + xn-1 = (n-1+1)xn-1 = nxn-1 c.v.d.
La formula non cambia se n assume valori negativi.
Per esercizio lo verifichiamo nel caso in cui n = - 1, in tal caso il rapporto incrementale è:
sviluppando si ottiene:
semplificando si ottiene:
passando al limite per h tendente a zero si ottiene:
che è proprio quello che si voleva verificare.
La formula rimane tale e quale anche nel caso in cui l'esponente di x sia un numero razionale
Ipotesi: n sia un numero naturale
Tesi: La derivata di fn è uguale a nfn-1f'.
Dimostrazione: Per dimostrare questo teorema si applicherà il principio di induzione. Il principio consiste nel fatto che, se una proprietà è vera per per un certo n, supposto sia vera per n-1, se si dimostra che è vera anche per n allora è vera per ogni n appartenente ad N.
Si può facilmente verificare che il teorema vale per n=2: basta pensare che f2=f*f ed applicare la regola della derivata del prodotto quindi (f*f)'=f'*f+f*f'=2f*f'.
Supponiamo ora che la proposizione sia vera per n-1 ovvero (fn-1)'=(n-1)fn-2f' e dimostriamo che è vera per n. Per derivare fn possiamo pensare che fn = fn-1f, quindi per derivare fn applichiamo la formula della derivata di un prodotto:
(fn)' = (fn-1f)' = (fn-1)'f +fn-1f' = (n-1)fn-2 f' + fn-1f' = (n-1)fn-1f' + fn-1f' = (n-1+1)fn-1f' = nfn-1f' c.v.d.
Si può dimostrare che la formula è sempre valida anche nel caso in cui n sia un numero negativo o razionale.
Tesi:
Dimostrazione:
usando la notazione esponenziale si può scrivere:
applichiamo la formula della derivata della funzione prodotto:
applichiamo la formula della derivata di fn con n=-1:
oppure usando la notazione di partenza si può anche scrivere:
calcolando il minimo comune multiplo si può scrivere:
Tesi:
Dimostrazione: Il rapporto incrementale della funzione logaritmo e':
applicando la terza proprieta' del logaritmo possiamo scrivere cosi' il rapporto incrementale:
o anche cosi':
moltiplicando e dividendo per x possiamo scrivere cosi' il rapporto incrementale:
per la quarta proprieta' del logaritmo x/h lo portiamo all'esponente:
e infine applicando al rapporto incrementale il limite per h tendente a zero otteniamo:
tenendo presente che con "e" si e' indicato il numero di Nepero. Per la proprietà 5 del logaritmo, che in pratica permette di fare un cambiamento di base si può anche scrivere:
e se la base del logaritmo corrisponde proprio al numero di Nepero la derivata si trasforma in una una relazione molto semplice:
Teorema: la derivata della funzione seno è la funzione coseno
Ipotesi: l'angolo x viene misurato in radiani
Tesi: sin'x=cosx
Dimostrazione: la derivata si otterrà con il limite per h tendente a zero del rapporto incrementale della funzione seno:
sappiamo che sin(x+h)=sinxcosh+cosxsinh per la formula di addizione del seno quindi possiamo scrivere:
sapendo che il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti possiamo scrivere:
tenendo presente che valgono le seguenti relazioni:
si deduce la tesi:
Teorema: la derivata della funzione coseno è la funzione -seno
Ipotesi: l'angolo x viene misurato in radiani
Tesi: cos'x=-sinx
Dimostrazione: la derivata si otterrà con il limite per h tendente a zero del rapporto incrementale della funzione coseno:
sappiamo che cos(x+h)=cosxcosh-sinxsinh per la formula di addizione del coseno quindi possiamo scrivere:
sapendo che il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti possiamo scrivere:
tenendo presente che valgono le seguenti relazioni:
si deduce la tesi:
La derivata della funzione -sinx è -cosx e la derivata della funzione -cosx è sinx quindi riassumendo:
sinx'=cosx
cosx'=-sinx
-sinx'=-cosx
-cosx'=sinx
In altre parole facendo per quattro volte la derivata della funzione seno ritroviamo la stessa funzione.
La funzione tangente può essere scritta come rapporto tra seno e coseno:
si applica la formula della derivata della funzione rapporto:
tenendo conto che sin'x=cosx e cos'x=-sinx otteniamo:
applicando il principio fondamentale della trigonometria: sin2x+cos2x=1, la derivata della funzione tangente può essere scritta in due modi diversi, ma tra loro equivalenti:
Ipotesi: Siano date due funzioni:
w=f(x) f: A→B
y=g(w) g: B→C
supponiamo che, variando x nel dominio A, la funzione w=f(x) assuma valori appartenenti al dominio B della funzione g(w).
Allora le due funzioni date definiscono la funzione composta che possiamo brevemente indicare con y= F(x) cioè poniamo: y=F(x)=g[f(x)]
Tesi: La derivata della funzione F(x) è espressa dalla relazione: F'(x)=f'(x)•g'(w)
Ipotesi: Sia y=f(x) una funzione reale a variabile reale x, continua e invertibile in un intervallo I, derivabile nel punto x ∈ I, con derivata f'(x) ≠ 0. Sia x=fi(y) la sua inversa.
Tesi: fi(y) è derivabile nel punto y=f(x) e si ha: fi'(y) =1/f'(x)
Dimostrazione: Se componiamo la fi(y) con la f(x), risulta: fi[f(x)]=x
derivando entrambi i membri di questa uguagliaza, applicando la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene:
fi'(y) *f'(x) = 1
da questa relazione, essendo per ipotesi f'(x) ≠ 0, si ricava la tesi
La funzione y=fi(x)=arctanx può scritta come funzione inversa di x=tany, quindi si può applicare la formula della derivata della funzione inversa. Nell'ultimo passaggio si è tenuto conto che x=tany.
La funzione y=fi(x)=ax può scritta come funzione inversa di x=logay, quindi si può applicare la formula della derivata della funzione inversa. Nell'ultimo passaggio si è tenuto conto che y=ax
Se la base della funzione esponenziale è il numero di Nepero e allora lne=1 quindi applicando la formula precedente si ha che:
Si può concludere dicendo che la derivata della funzione ex è uguale alla funzione stessa.