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Esercitazioni

Lezioni di matematica on line

Calcolo combinatorio

Calcolare in quanti modi diversi si possono disporre 5 studenti in 8 banchi.

Il primo studente può scegliere 8 banchi, il secondo 7, e così via ... l'ultimo studente rimasto troverà solamente 4 banchi liberi. Si tratta quindi di disposizioni semplici ed il numero cercato è: 8*7*6*5*4=6720

Calcolare in quanti modi diversi si possono sedere 5 studenti in 5 banchi.

Il primo studente può scegliere 5 banchi, il secondo 4, e così via ... l'ultimo studente rimasto troverà solamente un banco libero. Si tratta quindi di permutazioni ed il numero cercato è: 5*4*3*2*1 = 5! = 120.

Esercizio 1

Lanciamo 4 dadi. Calcolare quanti eventi elementari possono verificarsi.

L'uscita del primo dado potrà essere da 1 a 6, l'uscita del secondo pure, l'uscita del terzo pure, l'uscita del quarto pure. Si tratta di disposizioni con ripetizione ed il numero cercato è: 6*6*6*6=64=1296


Esercizio 2

Lanciamo 6 monete. Calcolare quanti eventi elementari possono verificarsi.

L'uscita della prima moneta potrà essere o testa o croce, l'uscita della seconda pure, l'uscita della terza pure, l'uscita della quarta pure, l'uscita della quinta pure, l'uscita della sesta pure. Si tratta di disposizioni con ripetizione ed il numero cercato è: 2*2*2*2*2*2=26=64

Calcolare quante sono le diagonali di un poligono.

Prendiamo in considerazione i vertici del poligono e calcoliamo i sottoinsiemi di due elementi. Il loro numero è n(n-1)/2 e tale numero corrisponde al numero di segmenti che hanno per estremi i vertici del poligono. In questo modo ho conteggiato la somma delle diagonali con i lati del poligono; per conteggiare solamente il numero delle diagonalli a questo numero devo togliere i lati che sono n per cui il numero cercato è (n(n-2)/2)-n ovvero n(n-3)/2

Calcolare quanti sono gli anagrammi anche privi di significato che si possono comporre con la parola "caso".

Possiamo pensare che si devono disporre 4 lettere in quattro posti. Sarebbe come disporre 4 studenti in 4 banchi. Si tratta quindi di permutazioni ed il numero cercato è: 4*3*2*1 = 4! = 24. Volendo invece calcolare quanti sono gli anagrammi anche privi di significato che si possono comporre con la parola "casa", osserviamo che ci sono due lettere uguali, cioè due "a". Possiamo quindi pensare che si devono disporre 4 lettere in quattro posti però scambiando le due "a" la parola rimane la stessa, pertanto il numero cercato non è: 4! ma 4!/2 = 12. Se la parola poi contiene anche triple o doppie lettere come "corriere" che ha 2 "e" e 3 "r" ed in totale ha 8 lettere, allora il numero degli anagrammi è: 8!/(3!*2!) ovvero 3360.

  1. Quanti sono gli anagrammi anche privi di significato che si possono costruire con la parola: parallelismo?

  2. In quanti modi posso disporre 7 studenti in 12 banchi?

  3. Quante applicazioni posso costruire avendo 4 elementi nel dominio e 7 nel codominio?

  4. In quanti modi posso disporre tre oggetti in otto cassetti, tenendo presente che i tre oggetti possono stare tutti anche in un unico cassetto?

  5. In quanti modi posso disporre tre oggetti in otto cassetti, tenendo presente che ciascuno dei cassetti può contenere al massimo un solo oggetto?

  6. In una classe di 16 studenti, posto che ognuno dei componenti la classe voglia fare il rappresentante, in quanti modi diversi possono essere scelti i due rappresentanti?

  7. Dieci persone si salutano stringendosi vicendevolmente la mano, quante strette di mano si saranno date in totale?

  8. Quante sono le diagonali di un ottagono?

  9. Quante applicazioni iniettive posso costruire avendo 5 elementi nel dominio e 10 nel codominio?

  10. Sviluppare (x+y)8

  11. Sviluppare (a+b)7

  12. Lanciando tre dadi in quanti modi può uscire il 9?