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Esercitazioni

Lezioni di matematica on line

Limiti

Verifica del limite

Servendosi della definizione di limite , verificare che si ha:

Per la definizione di limite si ha che:

 ∀ ε > 0, ∃ V(x0): ∀ x ∈ V-x0, (x∈A), ⇒ |3x-1-5|  < ε

Estrapolando la quarta parte della definizione:

ovvero
e questa disequazione con il valore assoluto equivale al seguente sistema composto da due disequazioni
risolviamo la prima:
risolviamo la seconda:
Risolvere un sistema equivale a trovare le soluzioni in comune alle due disequazioni. Lo facciamo con l'ausilio del seguente grafico che permette facilmente di trovare l'intersezione delle due soluzioni, nella terza riga.

La soluzione risulta un intorno centrato del punto 2.

Esercizio 1

Calcolare il seguente limite:

Sostituendo, otteniamo infinito sia al numeratore che al denominatore, per cui si tratta di una forma indeterminata. Innanzitutto raccogliamo i fattori di grado massimo sia al numeratore che all'interno della radice:

Trasportiamo fuori dal segno della radice x2 ottenendo |x|. Poichè x tende a meno infinito possiamo supporre che x sia negativo per cui |x|=-x, sostituiamo e otteniamo:

Raccogliamo quindi la x al denominatore e la semplifichiamo con la x del numeratore. Per x tendente a meno infinito il numeratore tende a 8 ed il denominatore a 1+1 cioè 2, in conclusione il limite vale 8/2 ovvero 4.


Esercizio 2

Calcolare il seguente limite:


Calcoliamo separatamente il limite del numeratore ed il limite del denominatore in quanto il limite di un rapporto è uguale al rapporto dei limiti, per fare questo sostituiamo alla variabile x il valore 2:


Il limite è quindi una forma indeterminata del tipo 0/0. Il valore 2 annulla sia il numeratore che il denominatore e quindi per il teorema di Ruffini sia il numeratore che il denominatore sono divisibili per x-2 per cui possiamo raccogliere, sia al numeratore che al denominatore, il fattore x-2.

Per eseguire la divisione sfruttiamo la regola di Ruffini:

per il numeratore:

e per il denominatore:


scomponiamo quindi in fattori:

e dopo aver semplificato, risostituiamo alla x il valore 2:


Tenendo conto del risultato ottenuto e tenendo conto che il valore 2 non appartiene al dominio della funzione, si può dire che nel punto (2,5) la funzione ha un "buco" o meglio, che si tratta di un punto di discontinuità di terza specie.

Esercizio 3

Calcolare il seguente limite:


Calcoliamo separatamente il limite dei due addendi in quanto il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti:


Sostituiamo alla variabile x +∞ Il limite dato è quindi una forma indeterminata del tipo ∞-∞.


Razionalizziamo il numeratore della funzione in modo che al denominatore della funzione di cui dovremo calcolare il limite compaia la somma delle radici invece che la differenza:



Se x tende a +∞ il denominatore della funzione risulta ora essere +∞ e quindi 5/∞=0.


Esercizio 1

Limiti notevoli: sinx/x

Calcolare il seguente limite:

Calcoliamo separatamente il limite del numeratore ed il limite del denominatore in quanto il limite di un rapporto è uguale al rapporto dei limiti:

Il limite è quindi una forma indeterminata del tipo 0/0.

Teniamo conto della relazione:

Sostituiamo e teniamo conto del limite notevole:


Raccogliamo x sia al numeratore che al denominatore e quindi semplifichiamo. Rifacciamo i calcoli, sfruttando il limite notevole:

Tenendo conto del risultato ottenuto e tenendo conto che il valore 0 non appartiene al dominio della funzione, si può dire che il punto (0,3/2) è un punto di discontinuità di terza specie.


Esercizio 2

Limiti notevoli: il numero di Nepero

Calcolare il seguente limite:

Teniamo conto del limite che dà per risultato il numero di Nepero:

Per sfruttare il limite notevole dobbiamo sostituire -2/x con 1/t. Passando ai reciproci si ha -x/2=t da cui x=-2t. Sostituendo otteniamo quindi:


Verifica del limite

Servendosi della definizione di limite , verificare che si ha:


Calcolo del limite

Calcolare il limite delle seguenti funzioni razionali che si presentano sotto forma indeterminata:


  1. [4/3]


  2. [3/2]


  3. [-1]


  4. [4]


  5. [0]


  6. [3]


  7. [2]


  8. [3√2/2]


  9. [∞]


  10. [1]


  11. [1/5]


  12. [0]


  13. [∞]


  14. [∞]


Limiti notevoli


  1. [1/4]


  2. [-5]


  3. [0]


  4. [-1]


  5. [1]


  6. [√2/2]


  7. [1/2]


  8. [0]


  9. [e3]


  10. [e-4]


  11. [e-6]


  12. [e]


  13. [e1/3]


  14. [e2]


Calcolo differenziale

Un problema di minimo


Tra i cilindri di prefissato volume determinare quello di superficie minima. Il problema è quello del serbatoio cilindrico o della boa cilindrica. Per risparmiare sul materiale, a parità di volume, si vuol determinare il cilindro di superfice minima.

r: raggio     V: volume  h: altezza   S: superficie totale

1. S=2πr²+2πrh

2. V= πr²h  da cui

3. h=V/πr² sostituendo h nella 1. in modo che la superficie sia funzione del solo raggio otteniamo:

S(r)=2πr²+2πrV/πr² semplificando S(r)=2πr²+2V/r eseguiamo la derivata rispetto ad r 

S'(r)=4πr-2V/r²  poniamo la derivata uguale a zero: 4πr-2V/r²=0 risolviamo l'equazione così ottenuta (4πr³-2V)/r²=0 essendo r ≠ 0  →  4πr³-2V=0 da cui: r=³√2V/4π

sostituendo troviamo nella 3.il relativo h:

h=V/π(³√2V/4π)² ovvero semplificando h=³√4V/π

confrontiamo h con r calcolando il loro rapporto:

h/r=(³√4V/π)/(³√2V/4π) = ³√8 = 2

ciò significa che il cilindro con superfice minima é quello che ha l'altezza doppia del raggio ovvero l'altezza uguale al diametro.


Un problema di massimo

figura 1
figura 2
figura 3

Da un cartoncino quadrato come in figura 1, vogliamo ricavare una scatola , ma in che modo? Innanzitutto ritagliando agli angoli quattro quadrati in modo da ottenere un cartoncino della forma della figura 2, il quadrato che si nota in figura 3 costituirà il fondo della scatola, mentre le pareti della scatola si otterranno piegando perpendicolarmente al piano d'appoggio, i quattro rettangoli, in modo da ottenere una scatola a base quadrata che si reggerà saldando i bordi con del nastro adesivo. In che consiste il problema? Vogliamo ritagliare i quattro quadrati in modo che la scatola abbia volume massimo. Supponiamo che il lato del cartoncino di figura 1 abbia una lunghezza "l" e i quattro quadrati che dobbiamo ritagliare abbiano il lato di lunghezza incognita "x". L'incognita x ovviamente, potrà variare tra zero e la metà della lunghezza del lato del quadrato di figura 1. La base della scatola sarà quindi un quadrato di lato l-2x l'altezza, invece corrisponde a "x". Il volume della scatola, che è un parallelepipedo, si calcola moltiplicando l'area di base per l'altezza:

moltiplicando e riordinando rispetto al grado dell'incognita x otteniamo:

eseguiamo la derivata rispetto all'incognita "x":

se poniamo la derivata uguale a zero per determinare i possibili punti di massimo o minimo relativo della funzione "V(x)" troviamo un'equazione di secondo grado il cui discriminante è:

otteniamo così due soluzioni:


La soluzione x1 prevede di ritaglire quattro quadrati di lunghezza pari alla metà del quadrato di figura 1, in questo caso otterremo un parallelopipedo di volume zero per cui x1 è un punto di minimo.

L'unica soluzione accettabile è x2. Infatti, x2, attraverso lo studio del segno della derivata, risulta essere un punto di massimo.

Quindi per ottenere la scatola di volume massimo bisogna ritagliare quattro quadrati di lunghezza pari ad un sesto del lato del quadrato di figura 1.


Rapporto incrementale

Determinare il rapporto incrementale della funzione nel caso in cui il punto iniziale sia -1 e l'incremento sia 2, calcolare la funzione derivata applicando la definizione, calcolare la derivata nel punto x0=1, determinare l'equazione della retta tangente alla curva nel punto x0=-1

Il rapporto incrementale generico che dipende sia dal punto iniziale x, sia dal tipo di incremento, è dato dalla seguente espressione:

La funzione calcolata nel punto x+h assume la seguente espressione:

Calcoliamo il rapporto incrementale della funzione data:

Sviluppando otteniamo:

Semplificando i monomi simili e raccogliendo h otteniamo:

Semplificando h otteniamo che il rapporto incrementale è dato da:

Per calcolare il rapporto incrementale nel punto -1, con incremento 2, bisogna sostituire questi due valori. Otteniamo quindi R(-1,2)=3(-1)2+3(-1)2+22-2=3-6+4-2=-1. Il valore così trovato, -1, rappresenta il coefficiente angolare della retta secante la curva nei punti (-1,1) e (1,3).

Per individuare la funzione derivata bisogna calcolare il limite per h tendente a zero del rapporto incrementale:

Per calcolare il valore che la funzione derivata assume nel punto 1, sostituiamo alla x questo valore, pertanto f'(-1)=3-2=1. Il valore così ottenuto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente la funzione nel punto (-1;1). Per trovare l'equazione della tangente alla funzione nel punto dato, scriviamo l'equazione del fascio di rette di centro: y-y0=m(x-x0) e sostituendo a y0 il valore -1, a x0 1 e ad m il valore 1, otteniamo l'equazione della retta tangente la funzione nel punto dato: y-1=(x+1), ovvero: y=x+2


Rapporto incrementale

Per ognuna delle seguenti funzioni:

  • Determinare il rapporto incrementale in funzione del generico punto x, e dell'incremento h

  • Calcolare il rapporto incrementale nel punto assegnato e con incremento 2

  • Calcolare la funzione derivata applicando la definizione

  • Calcolare la derivata nel punto assegnato

  • Determinare l'equazione della retta tangente alla curva nel punto dato

    1. y=x2, x=2
      [f'(2)=4]

    2. y=x3, x=-1
      [f'(-1)=3]

    3. y=3x2-x+5, x=1/3
      [f'(1/3)=1]

    4. y=x/(x+1), x=1
      [f'(1)=1/4]

    5. y=(x-1)/(x+3), x=-1
      [f'(-1)=1]

    6. y=√x, x=4
      [f'(4)=1/4]

    7. y=√(x-2), x=6
      [f'(6)=1/4]


    Calcolo della derivata

    Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:


    1. [(2x2+4x-4)/(x+1)2]


    2. [1/(2√(x+4))]


    3. [(-x4+2x3-6x2+2x-1)/(x3+1)2]


    4. [(2/(2x+7)]


    5. [(-2x/(1-x2)]


    6. [(2/(1-x2)]


    7. [(2x/(1+x4)]


    8. [(2lnx/x]


    9. [3cosx*sin2x]


    10. [1/2(√1/(x3(x-1)]


    11. [(-1/(x2))*cos(1/x)]


    12. [(2*(1+tan22x)]


    Applicazioni della derivata

      Determinare gli intervalli nei quali le seguenti funzioni sono crescenti o decrescenti:

    1. y=x2-x-2
      [crescente x>1/2]

    2. Risolvere i seguenti problemi:

    3. Determinare due numeri naturali aventi somma minima e prodotto uguale a 49
      [x1=x2=7]

    4. Fra i triangoli isosceli aventi lo stesso perimetro determinare quello di area massima
      [triangolo equilatero]

    5. Trovare il punto della retta y=2x più vicino al punto (1,3)
      [(7/5,14/5)]

    6. Dividere il numero 12 in due numeri naturali tali che sia massimo il prodotto dell'uno per il quadrato dell'altro
      [x1=4, x2=8]

    7. Dividere il numero 15 in due numeri reali tali che sia massimo il prodotto dei due numeri e della loro differenza
      [x1=(15+5√3)/2, x2=(15-5√3)/2]

    8. Un filo di 10 m è tagliato in due parti, con una si forma un quadrato con l'altra un triagolo equilatero. Determinare la lunghezza delle due parti in modo che sia minima la somma delle due aree
      [x1=(40(3√3-4)/11), x2=(10-(40(3√3-4)/11)]

    9. Dati i punti A(0;2), B(3;4), determinare il punto P sull'asse x, tale che la somma delle lunghezze dei segmenti AP, BP sia minima
      [P(1,0)]

    10. Data la parabola di equazione y=-x2+5x-4, siano A, B i suoi punti d'intersezione con l'asse x e sia V il suo vertice. Determinare l'equazione della retta parallela all'asse x che intersechi la parabola nei punti P, Q appartenenti all'arco AVB, tali che:

      • siano massimi l'area ed il perimetro del trapezio ABPQ

      • siano massimi l'area ed il perimetro del rettangolo PQP'Q', essendo P',Q' le proiezioni sull'asse x di P e Q

      • siano massimi l'area ed il perimetro del triangolo PQV

      • siano minimi l'area ed il perimetro del triangolo isoscele avente due lati tangenti alla parabola rispettivamente in P, Q e la base sull'asse x.
        [la retta y=3/2 soddisfa a vari quesiti]


    Studio di funzioni


    Esercizio 1

    Studiare il grafico della seguente funzione razionale senza far uso della funzione derivata:

    Per determinare il dominio della funzione razionale basta valutare per quali valori si annulla il denominatore, nel caso specifico bisogna risolvere l'equazione: x2+4x-5=0. Il discriminante dell'equazione è positivo cioè 36 per cui l'equazione ha le due soluzioni 1, -5. Il dominio è dunque l'insieme R dei numeri reali esclusi i due valori 1 e -5. Sulle verticali condotte da 1 e -5 non c'è funzione, da cui x=1, e x=-5 costituiscono due asintoti verticali della funzione stessa. Per determinare altri eventuali asintoti si esegue ora la divisione tra numeratore e denominatore. Essendo il numeratore di terzo grado ed il denominatore di primo grado il quoziente della divisione è di primo grado.

    Indicati rispettivamente con n, d il numeratore ed il denominatore della funzione e con q e r il quoziente ed il resto della divisione, possiamo scrivere che n/d= (dq+r)/d ovvero n/d=q+(r/d) nel caso specifico:


    La nostra funzione è quindi esprimibile come somma di una retta y=x-4 ed un altra funzione razionale che tende a zero quando x tende ad infinito in quanto il grado del resto della divisione è sempre minore del grado del quoziente. La retta y=x-4 costituisce quindi un'asintoto obliquo per la funzione.

    Passiamo a studiare come varia il segno della funzione. Notiamo che il numeratore può essere scomposto in due fattori: si tratta della retta y=x e della parabola y=x2-4 i cui grafici sono riportati nelle figure 1 e 2.


    Il primo fattore che compone il numeratore è la retta y=x ovvero la bisettrice del primo e terzo quadrante.


    Il secondo fattore che compone il numeratore è la parabola y=x2-4 che interseca l'asse delle ascisse nei punti 2 e -2.


    In figura 3 è riportato il denominatore. Si tratta della parabola y=x2+4x-5 che interseca l'asse delle ascisse nei punti 1 e -5.


    Tenendo presenti i segni dei due fattori che si trovano al numeratore ed il segno del denominatore, otteniamo, nella quarta riga, il segno della nostra funzione che serve a delimitare le "strisce" di piano entro cui si sviluppa la funzione.


    Per quanto riguarda le intersezioni con gli assi mettendo a sistema la nostra funzione con y=0 che rappresenta l'asse delle ascisse e poi con x=0 che rappresenta l'asse delle ordinate e risolvendo i due sistemi, con semplici calcoli otteniamo i seguenti tre punti ((-2;0) (2;0) (0;0).


    A questo punto ci chiediamo quali sono i limiti significativi che potranno aiutarci a tracciare il grafico della funzione. Tenendo presente che una funzione razionale è definita per ogni valore reale tranne che per quei valori dove il denominatore si annulla, andranno calcolati i limiti della funzione per x tendente all'infinito e i limiti per x che tende a 1 e -5 che sono i due punti dove la funzione non è definita. Sostituendo alla x il valore infinito ci si trova però in un caso indeterminato.

    Per "togliere" tale indeterminazione si raccoglie il monomio di grado più elevato, in questo caso x3, sia al numeratore che al denominatore, si semplifica quindi x3 e ciò che rimane, ovvero 1/0, vale infinito.

    Per valutare poi se il limite è piu infinito o meno infinito, andiamo a vedere il grafico dello studio del segno per cui:

    Tutto ciò concorda con il fatto che la funzione ha per asintoto una retta obliqua crescente. Rimangono ancora da calcolare i limiti per x tentente a 1 e -5 che sono i punti che non appartengono al campo di esistenza della funzione. Sostituendo i due valori alla x otteniamo il caso -3/0 e -5/0 che danno infinito, per valutare poi se il limite è piu infinito o meno infinito, andiamo a vedere il grafico dello studio del segno per cui:




    Ora, conoscendo: campo di esistenza, asintoti, studio del segno, intersezione con gli assi, limiti significativi, disegnare il grafico della funzione e solo dopo, controllare l'esattezza del vostro disegno.


    Esercizio 2


    Studiare il grafico della seguente funzione razionale:

    Per determinare il dominio della funzione razionale basta valutare per quali valori si annulla il denominatore, nel caso specifico bisogna risolvere l'equazione: x2-3x+2=0. Il discriminante dell'equazione è positivo cioè 1 per cui l'equazione ha le due soluzioni 1, 2. Il dominio è dunque l'insieme R dei numeri reali esclusi i due valori 1 e 2. Sulle verticali condotte da 1 e 2 non c'è funzione, da cui x=1, e x=2 costituiscono due asintoti verticali della funzione stessa. Per determinare altri eventuali asintoti si esegue ora la divisione tra numeratore e denominatore. Essendo numeratore e denominatore di secondo grado il quoziente della divisione è di grado zero ovvero una retta orizzontale non corrispondente all'asse delle ascisse.

    Indicati rispettivamente con n, d il numeratore ed il denominatore della funzione e con q e r il quoziente ed il resto della divisione, possiamo scrivere che n/d= (dq+r)/d ovvero n/d=q+(r/d) nel caso specifico:


    La nostra funzione è quindi esprimibile come somma di una retta y=2 ed un altra funzione razionale che tende a zero quando x tende ad infinito in quanto il grado del resto della divisione è sempre minore del grado del quoziente. La retta y=2 costituisce quindi un'asintoto orizzontale per la funzione.

    Passiamo a studiare come varia il segno della funzione. Notiamo che il numeratore ed il denominatore sono le due parabole y=2x2 e y=x2-3x+2 i cui grafici sono riportati nelle figure 1 e 2.

    Il numeratore è la parabola y=2x2 che ha il vertice nell'origine.


    Il denominatore è la parabola y=x2-3x+2 che interseca l'asse delle ascisse nei punti 1 e 2.


    Tenendo presenti i segni dei due fattori che si trovano al numeratore ed il segno del denominatore, otteniamo, nella terza riga, il segno della nostra funzione che serve a delimitare le "strisce" di piano entro cui si sviluppa la funzione.

    Per quanto riguarda le intersezioni con gli assi mettendo a sistema la nostra funzione con y=0 che rappresenta l'asse delle ascisse e poi con x=0 che rappresenta l'asse delle ordinate e risolvendo i due sistemi, con semplici calcoli otteniamo che l'unica intersezione è l'origine (0;0).


    A questo punto ci chiediamo quali sono i limiti significativi che potranno aiutarci a tracciare il grafico della funzione. Tenendo presente che una funzione razionale è definita per ogni valore reale tranne che per quei valori dove il denominatore si annulla, andranno calcolati i limiti della funzione per x tendente all'infinito e i limiti per x che tende a 1 e 2 che sono i due punti dove la funzione non è definita. Sostituendo alla x il valore infinito ci si trova però in un caso indeterminato. Per "togliere" tale indeterminazione si raccoglie il monomio di grado più elevato, in questo caso x2, sia al numeratore che al denominatore, si semplifica quindi x2 e ciò che rimane, è 2/1.

    Tutto questo concorda con il fatto che la funzione ha nella retta y=2 un asintoto orizzontale

    Rimangono ancora da calcolare i limiti per x tentente a 1 e 2 che sono i punti che non appartengono al campo di esistenza della funzione. Sostituendo i due valori alla x otteniamo il caso 2/0 e 8/0 che danno infinito, per valutare poi se il limite è piu infinito o meno infinito, andiamo a vedere il grafico dello studio del segno per cui:


    Calcoliamo la funzione derivata. Si tratta di calcolare la derivata di un rapporto ovvero si applica la seguente formula:


    Notiamo che il numeratore è rappresentabile graficamente dalla parabola y=-6x2+8x che ha la concavità rivolta verso il basso ed interseca l'asse delle ascisse nei punti (0,0) e (4/3,0).

    La parabola risulta quindi negativa fino a 0, positiva tra 0 e 4/3, e negativa da 4/3 in poi.

    Tenendo presente che il denominatore della funzione derivata, essendo un quadrato, risulta sempre positivo si può dedurre che la funzione sia decrescente fino a 0, crescente tra 0 e 2/3 e decrescente da 2/3 in poi.



    Nel punto 0 ci sarà quindi un minimo relativo, nel punto 4/3 ci sarà un massimo relativo


    Ora, conoscendo: campo di esistenza, asintoti, studio del segno, intersezione con gli assi, limiti significativi e intervalli dove la funzione risulta crescente o decrescente, disegnare il grafico della funzione e solo dopo, controllare l'esattezza del vostro disegno.




    Studio di funzione polinomiale

    Studiare la funzione y=x4/4-x3/3 Il dominio è tutto R, la funzione non ammette asintoti orizzontali nè verticali nè obliqui Si ha y'=x3-x2=x2(x-1) da cui per x>1 la funzione cresce, per x<1 la funzione decresce il punto x=1 è minimo relativo ed è f(1)=-1/12. Calcoliamo la derivata seconda: y''=3x2-2x per cui per x<0 , x>2/3 la curva volge la concavità verso l'alto, per 0 < x < 2/3 la curva volge la concavità verso il basso, nei punti x=0 e x=2/3 si hanno due flessi ed è f(0)=0, f(2/3)=-4/81

    Ora conoscendo: campo di esistenza, asintoti, studio del segno, intersezione con gli assi, limiti significativi e intervalli dove la funzione risulta crescente o decrescente, disegnare il grafico della funzione e solo dopo, controllare l'esattezza del vostro disegno.




    Funzioni polinomiali

    Studiare il grafico delle seguenti funzioni polinomiali:

    1. y=x3+3x2-x-3

    2. y=x3-2x-4

    3. y=x3-x2

    4. y=x3-3x2+2x

    5. y=x4-2x2

    Funzioni razionali


    Studiare il grafico delle seguenti funzioni razionali:

    1. y=x/(x2-1)
      [asintoto orizzontale y=0]

    2. y=3x/(2x+1)
      [asintoto orizzontale y=3/2]

    3. y=x2/(x2-4)
      [asintoto orizzontale y=1; punto di minimo 0]

    4. y=(x2-3x)/(2x+1)
      [asintoto obliquo y=(1/2)x-(7/4); punto di minimo (-1-√7)/2; punto di massimo (-1+√7)/2]

    5. y=(x2-x-1)/(x2-x+1)
      [asintoto orizzontale y=1; punto di minimo 1/2]

    6. y=x3/(x-1)
      [parabola asintotica y=x2+x+1 flesso orizzontale 0; punto di minimo 3/2]

    Funzioni irrazionali

    Studiare il grafico delle seguenti funzioni irrazionali:

    1. y=√(x-1)

    2. y=√(x2-5x+4)

    3. y=√((x2-9)/(x+1))

    4. y=√(2x/(x-1))


    Calcolo integrale


    Integrale indefinito

    Calcolare il seguente integrale indefinito:



    Esercizio 1

    Calcolare il seguente integrale:

    Applichiamo la formula dell'integrazione per parti:

    Conviene fare le seguenti scelte:

    da cui:

    Considerate le scelte fatte, applichiamo la formula dell'integrazione per parti:

    Al risultato ottenuto aggiungiamo una costante k


    Esercizio 2

    Calcolare il seguente integrale:

    tenendo presente che cos2 si può considerare come prodotto cosxcosx, l'integrale diventa:

    Applichiamo la formula dell'integrazione per parti:

    poniamo:

    da cui:

    Considerate le posizioni fatte, applichiamo la formula dell'integrazione per parti:

    Tenendo presente che sin2x=1-cos2, sostituiamo e quindi scomponiamo:

    Al risultato ottenuto aggiungiamo una costante k



    Integrale indefinito

    Calcolare il seguente integrale indefinito

    Innanzitutto scomponiamo la funzione integranda:

    Quindi si avra' che:

    Eseguendo i prodotti otteniamo:

    Impostiamo e risolviamo il sistema nelle tre incognite A, B, C:

    Si ottiene:

    da cui l'integrale di partenza diviene

    Si tratta di integrali immediati per cui la famiglia delle primitive diventa:



    Integrale definito

    Calcolare il seguente integrale definito

    Innanzitutto calcoliamo l'integrale indefinito. Per semplificarne il calcolo conviene porre:

    Quindi si avra' che:

    Calcoliamo la derivata di g:

    Applichiamo la formula dell'integrazione per sostituzione:

    Si ottiene:

    Gli estremi di integrazione si ricalcolano tenendo presente che t=g-1(x)=√(x-1)



    Aree comprese tra curve

    Esercizio 1

    Calcolare l'area compresa tra una sinusoide e l'asse delle ascisse


    Esercizio 2

    Calcolare l'area compresa tra l'asse delle ascisse, la funzione 1/(1+x2 ) e le due rette x=0, x=1

    Una primitiva della funzione 1/(1+x2 ), sotto in figura, è arctan x.


    Ciò significa che l'area che si vuol calcolare è esattamente uguale all'area compresa tra l'asse delle ascisse, la funzione 1/(1+x2 ) la retta x=1 e che va a +infinito.


    Esercizio 3

    Calcolare l'area di un trapezio compreso tra le rette y=0, x=1, x=2, y=x in

    Infatti, l'area del trapezio, si calcola anche senza l'ausilio del calcolo integrale: base maggiore che è 3 + base minore che è 1 volte l'altezza che è 2 diviso 2 .. che dà sempre 4.


    Esercizio 4

    Calcolare l'area compresa tra l'asse delle ascisse la parabola x2 e le rette x=0, x=2

    L'area considerata è data da:

    mentre l'area del rettangolo che inscrive la parabola è data dalla base che è 2 per l'altezza che è 4 cioè 8 ovvero, più in generale, l'area del rettangolo, che inscrive la parabola, è sempre il triplo dell'area del rettangolo compresa tra la parabola stessa e l'asse delle ascisse.


    Volume solidi di rotazione

    Esercizio 1

    Calcolare il volume della sfera

    Pensiamo che la sfera sia generata dalla rotazione attorno all'asse x del semicerchio avente centro nell'origine e raggio r. L'equazione della circonferenza è: x2+y2= r2 ovvero y2= r2-x2. In base alla formula quindi il volume della sfera è:

    Per rendere i calcoli più semplici potremo, vista la simmetria della sfera calcolare il volume della semisfera:

    raddoppiando il volume ottenuto troveremo quindi il volume delle sfera:


    Esercizio 2

    Calcolare il volume del cono

    Il volume del cono di altezza h ottenuto da una rotazione intorno all'asse x della bisettrice y=x si ottiene:



    Integrale indefinito

    Calcolare i seguenti integrali indefiniti, servendosi del teorema della scomposizione e degli integrali immediati:

    1. [(3/10)x10/3+k]


    2. [x3/3-(5/2)x2+3x+k]

    3. [x4/4-x2+k]

    4. [2√x+(2/3)x√x+k]

    5. [ex+e-x+k]

    6. [(3/5)x5/3+(2/3)x3/2-x+k]

    7. [x3/3+ln|x|-(2/x)+k]

    8. [x-ln|x+1|+k]

    9. []

    10. []

    11. []

    12. Calcolare i seguenti integrali indefiniti con il metodo della sostituzione:

    13. [ln|ex+2|+k]

    14. [ln2x/2+k]

    15. [lnex-ln|ex+1|+k]

    16. [ln2x/2+lnx+k]

    17. [2x3/2/3+2√x+k]

    Integrale definito

    Calcolare i seguenti integrali definiti:


    1. [20]


    2. [44]


    3. [7/3+ln2]


    4. [ln2]

    5. Calcolare i seguenti integrali definiti con il metodo della sostituzione:


    6. [15+2ln2]


    7. [32/3]


    8. [5/3-2ln2]


    Aree e volumi

    Calcolare l'area della parte finita di piano delimitata da:

    1. Dalla parabola y=-x2-x+6 e dalla retta y=5-x
      [4/3]

    2. Dalla parabola y=-x2+9, dalla retta y=-x+9 .
      [1/6]

    3. Dalla parabola y=-x2+9, dalla retta y=-x+9 e dall'asse delle ascisse.
      [215/6]

    4. Dalla parabola y=x2-4x+3 e dall'asse delle ascisse.
      [4/3]

    5. Dalla parabola y=x2-4x+3 e dalla retta y=x-1
      [9/2]

    6. Dalla parabola y=-x2+16 e dall'asse delle ascisse.
      [256/3]

    7. Dalla parabola y=x2+3x-4 e le rette tangenti ad essa nei suoi punti di intersezione con l'asse delle ascisse.
      [7/2]

    8. Dalla parabola y=-x2+4, la retta tangente ad essa nel punto P(1,3), l'asse delle ordinate e dall'asse delle ascisse.
      [7/12]

    9. Dalla curva di equazione y=ln x e le rette y=0, x=1/2, x=2.
      [(3/2)ln2-1/2]

    10. Dalla curva di equazione y=(x2-4)/(x+1), l'asintoto obliquo e le rette x=3/2, x=4.
      [ln9]

    11. Dalla curva di equazione y=(x2-2x-3)/(x2-2x+1), l'asse delle ascisse e le rette x=2, x=4.
      [l4/3]

    Calcolare il volume dei solidi generati con una rotazione completa attorno all'asse delle ascisse dalle regioni piane limitate aventi per contorno le curve con le seguenti equazioni:

    1. y=-x2+4, y=0.
      [(512/15)π]

    2. y=-x2+4, y=3.
      [(136/15)π]

    3. y=x2, x=2, y=0.
      [(32/5)π]

    4. y=x2, y=x2+2.
      [(16/3)π]

    5. y=x+3, y=0, x=1, x=0.
      [(37/3)π]

    6. y=3x, y=0, x=-2.
      [(24)π]

    7. y=2, y=x+2, y=-x+4.
      [(14/3)π]

    8. y=lnx, e dalle rette y=0, x=e
      [π(e-2)]

    9. y=1/x, x=2, x=1.
      [(1/2)π]